Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right) ao longo de uma circunferência centrada na origem, orientada no sentido anti-horário. Em seguida, use o Teorema de Green para traçar uma estratégia para o calculo de \int_{C} \vec{F} \cdot d r, onde C é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, orientada no sentido anti-horário, a partir do resultado obtido.

Passo 1

O problema pede primeiro a integral de linha de \displaystyle \vec F(x,y)=\Bigl(\frac{-y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2}+2x\Bigr)
ao longo de uma circunferência de raio R centrada na origem (sentido anti-horário). Depois, quer usar o Teorema de Green para calcular \displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r,
onde C é a elipse \tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}=1. Vamos precisar de parametrização para a circunferência e de Green (curl e área).

Passo 2

Parametrizando a circunferência de raio R por
x(t)=R\cos t,\quad y(t)=R\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
temos
dx=-R\sin t\,dt,\quad dy=R\cos t\,dt.
Então
\int_{|z|=R}\vec F\cdot d\vec r =\int_0^{2\pi}\!\Bigl[ \underbrace{\frac{-y}{x^2+y^2}}_{P}\,dx +\underbrace{\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2}+2x\Bigr)}_{Q}\,dy \Bigr].
Separe em duas partes:
I_1=\int\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}, \quad I_2=\int 2x\,dy.

Passo 3

Para I_1 reconhecemos a forma diferencial de ângulo polar, e fica
I_1=\int_0^{2\pi}d t=2\pi.
Para I_2 usamos x=R\cos t, dy=R\cos t\,dt:
I_2=\int_0^{2\pi}2\bigl(R\cos t\bigr)\bigl(R\cos t\,dt\bigr) =2R^2\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt =2R^2\cdot\pi.

Passo 4

Somando as duas parcelas,
\int_{|z|=R}\vec F\cdot d\vec r =I_1+I_2 =2\pi +2R^2\pi =2\pi\bigl(1+R^2\bigr).

Passo 5

Agora, para a elipse, calculamos o rotacional de \vec F=(P,Q):
\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} =2.
Isso mostra que, em qualquer região sem o ponto (0,0), \displaystyle\curl\vec F=2.

Passo 6

Considere a região D entre a elipse C (orientada positivamente) e uma circunferência pequena C_\varepsilon de raio \varepsilon em torno da origem (orientada negativamente). Pelo Teorema de Green,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r -\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{D}2\,dA.

Passo 7

Rearranjando,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r +2\iint_{D}dA.
Quando \varepsilon\to0, usamos do Passo 4 para R=\varepsilon: \displaystyle\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r\to2\pi.
E \iint_{D}dA tende à área da elipse, que é \pi a b=\pi\cdot2\cdot3=6\pi. Logo
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =2\pi +2\,(6\pi) =14\pi.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r=14\pi

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