Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right) ao longo de uma circunferência centrada na origem, orientada no sentido anti-horário. Em seguida, use o Teorema de Green para traçar uma estratégia para o calculo de \int_{C} \vec{F} \cdot d r, onde C é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, orientada no sentido anti-horário, a partir do resultado obtido.
Passo 1
O problema pede primeiro a integral de linha de \displaystyle \vec F(x,y)=\Bigl(\frac{-y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2}+2x\Bigr)
ao longo de uma circunferência de raio R centrada na origem (sentido anti-horário). Depois, quer usar o Teorema de Green para calcular \displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r,
onde C é a elipse \tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}=1. Vamos precisar de parametrização para a circunferência e de Green (curl e área).
Isso mostra que, em qualquer região sem o ponto (0,0), \displaystyle\curl\vec F=2.
Passo 6
Considere a região D entre a elipse C (orientada positivamente) e uma circunferência pequena C_\varepsilon de raio \varepsilon em torno da origem (orientada negativamente). Pelo Teorema de Green,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r -\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{D}2\,dA.
Passo 7
Rearranjando,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r +2\iint_{D}dA.
Quando \varepsilon\to0, usamos do Passo 4 para R=\varepsilon: \displaystyle\int_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r\to2\pi.
E \iint_{D}dA tende à área da elipse, que é \pi a b=\pi\cdot2\cdot3=6\pi. Logo
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =2\pi +2\,(6\pi) =14\pi.