Discuta a necessidade da hipótese da conexão simples no teorema das 4 equivalências para a caracterização dos campos conservativos no plano.

Passo 1

O enunciado pede para discutirmos por que, no teorema que afirma a equivalência entre
  1. campo conservativo,
  2. integral de linha independente do caminho,
  3. integral em qualquer laço fechado nula,
  4. campo irrotacional \nabla\times\mathbf{F}=0,
    é crucial exigir que o domínio seja simplesmente conexo. Vamos primeiro revisar as definições e o enunciado desse teorema.

Passo 2

Definições essenciais:
– Um domínio D\subset\mathbb{R}^2 é simplesmente conexo se for aberto, conectado e não tiver “buracos” (ou seja, qualquer curva fechada em D pode ser continuamente deformada a um ponto dentro de D).
– Um campo \mathbf{F}=(P,Q) em D é conservativo se existe potencial \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
Irrotacional significa
\nabla\times\mathbf{F} =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0
em todo ponto de D.
– Integral de linha independente do caminho e integral em laço fechado nula são duas demais formas de caracterizar conservatividade.

Passo 3

Enunciado do teorema das quatro equivalências (hipótese padrão):
Se D é aberto e simplesmente conexo e \mathbf{F}\colon D\to\mathbb{R}^2 tem derivadas parciais contínuas, então as quatro propriedades acima são equivalentes. Em particular, de
\nabla\times\mathbf{F}=0
segue que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 4

Por que simples conectividade? Sem ela, a implicação \nabla\times\mathbf{F}=0\implies\mathbf{F} conservativo
pode falhar. Isto acontece porque “buracos” permitem que um campo com rotor nulo tenha circulação não nula em torno desses buracos.

Passo 5

Contraexemplo clássico: seja
\mathbf{F}(x,y) =\Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr)
definido em D=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Note que D não é simplesmente conexo (há um “buraco” no ponto (0,0)).
– Calcula-se facilmente
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr) =0,
logo \nabla\times\mathbf{F}=0 em todo D.
– Porém, a integral em torno da circunferência unitária \gamma\colon t\mapsto(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi], dá
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi\neq0.
Isso mostra que \mathbf{F} não admite potencial global em D, apesar de ser irrotacional.

Passo 6

Conclusão do contraexemplo: sem simples conectividade, rotor nulo não impede circulação em torno de “buracos”. Dessa forma, a equivalência entre “irrotacional” e “conservativo” deixa de valer. A hipótese de domínio simplesmente conexo garante que não haja lacunas onde o campo possa “contornar” sem violar o rotor nulo, assegurando a existência de potencial e todas as demais propriedades equivalentes.

Resposta

A hipótese de conexão simples é essencial porque impede a existência de “buracos” no domínio. Num domínio com buracos, um campo pode ter \nabla\times\mathbf{F}=0 mas ainda assim apresentar circulação não nula em laços fechados que circundem essas regiões vazias, falhando em ser conservativo. Portanto, sem conexão simples, as quatro condições deixam de ser equivalentes.

Exercícios relacionados