Verifique que a integral de linha do campo \vec{F}=(x, x y) sobre qualquer circunferência centrada na origem é nula e, no entanto, \vec{F} não é um campo conservativo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial \vec{F}(x,y)=(P,Q)=(x,\;x\,y):
  1. Mostrar que, ao fazer o integral de linha de \vec{F} sobre qualquer circunferência centrada na origem, o valor é zero.
  2. Mostrar que, apesar disso, \vec{F} não é conservativo.
    Para 1) vamos usar a parametrização usual da circunferência de raio R.
    Para 2) usaremos o critério de que, num campo conservativo em \mathbb{R}^2, é necessário ter \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio R por
\gamma(t)=(x(t),y(t))=(R\cos t,\;R\sin t),\quad t\in[0,2\pi].
Então
\gamma'(t)=(-R\sin t,\;R\cos t).
Nesse parâmetro,
\vec{F}(\gamma(t))=\bigl(R\cos t,\;R\cos t\cdot R\sin t\bigr) =(R\cos t,\;R^2\cos t\sin t).

Passo 3

O integral de linha é
\oint_{\text{circ}} \vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Calculamos o produto escalar:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =(R\cos t)(-R\sin t)+(R^2\cos t\sin t)(R\cos t) =-R^2\cos t\sin t+R^3\cos^2 t\sin t.

Passo 4

Separamos em dois integrais sobre 0\le t\le2\pi:
I_1=-R^2\int_0^{2\pi}\cos t\sin t\,dt, \quad I_2=R^3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\sin t\,dt.
Para I_1 use \cos t\sin t=\tfrac12\sin(2t), cuja integral completa em um período é zero.
Para I_2 faça u=\cos t, du=-\sin t\,dt, de modo que
I_2=R^3\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\sin t\,dt =-R^3\int_{u(0)=1}^{u(2\pi)=1}u^2\,du=0.
Logo
\oint_{\text{circ}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =I_1+I_2=0.

Passo 5

Para verificar se \vec{F} é conservativo, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y}(x)=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial }{\partial x}(x\,y)=y.
Como \partial P/\partial y=0\neq y=\partial Q/\partial x em geral, o campo não satisfaz o critério de ser conservativo em \mathbb{R}^2.

Resposta

O integral de linha sobre qualquer circunferência centrada na origem é zero e, no entanto, o campo \vec{F}(x,y)=(x,\;x\,y) não é conservativo porque \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x.

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