Verifique que a integral de linha do campo
sobre qualquer circunferência centrada na origem é nula e, no entanto,
não é um campo conservativo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
:
- Mostrar que, ao fazer o integral de linha de
sobre qualquer circunferência centrada na origem, o valor é zero. - Mostrar que, apesar disso,
não é conservativo.
Para 1) vamos usar a parametrização usual da circunferência de raio.
Para 2) usaremos o critério de que, num campo conservativo em, é necessário ter .
Passo 2
Parametrizamos a circunferência de raio
por
Então
Nesse parâmetro,
Passo 3
O integral de linha é
Calculamos o produto escalar:
Passo 4
Separamos em dois integrais sobre
:
Para
use
, cuja integral completa em um período é zero.
Para faça
,
, de modo que
Para
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Passo 5
Para verificar se
é conservativo, calculamos
Como
em geral, o campo não satisfaz o critério de ser conservativo em
.
Resposta
O integral de linha sobre qualquer circunferência centrada na origem é zero e, no entanto, o campo
não é conservativo porque
.