Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(x^{2}-2 x y, x^{3}+y\right) de (0,0) a (1,1) ao longo das seguintes curvas:
(b) A curva C de equações paramétricas x=t^{2}, y=t^{3}, com t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial \vec{F}(x,y)=(x^2-2xy,\;x^3+y) ao longo da curva C dada por
x=t^2,\quad y=t^3,\quad t\in[0,1],
de (0,0) até (1,1).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, que exigirá parametrizar a curva, compor \vec{F} com essa parametrização e depois integrar o produto escalar \vec{F}(r(t))\cdot r'(t).

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (x(t),y(t)) = (t^2,\;t^3),\quad 0\le t\le1.
O vetor tangente é
r'(t) = \bigl(2t,\;3t^2\bigr).

Passo 3

Substituindo na definição de \vec{F}, temos
\vec{F}\bigl(r(t)\bigr) = \bigl((t^2)^2 - 2\,(t^2)(t^3),\;(t^2)^3 + t^3\bigr) = \bigl(t^4 - 2t^5,\;t^6 + t^3\bigr).

Passo 4

O produto escalar é
\vec{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = (t^4 - 2t^5)\cdot(2t)\;+\;(t^6 + t^3)\cdot(3t^2).
Distribuindo e somando termos semelhantes, obtemos
2t^5 - 4t^6 + 3t^8 + 3t^5 = 5t^5 - 4t^6 + 3t^8.

Passo 5

Agora calculamos a integral de t=0 a t=1:
\int_{0}^{1}\bigl(5t^5 - 4t^6 + 3t^8\bigr)\,dt = 5\int_{0}^{1}t^5\,dt \;-\;4\int_{0}^{1}t^6\,dt \;+\;3\int_{0}^{1}t^8\,dt.
Cada termo é
5\int_{0}^{1}t^5\,dt = 5\cdot\frac{1}{6} = \frac{5}{6},\quad 4\int_{0}^{1}t^6\,dt = 4\cdot\frac{1}{7} = \frac{4}{7},\quad 3\int_{0}^{1}t^8\,dt = 3\cdot\frac{1}{9} = \frac{1}{3}.
Somando-os com sinal adequado:
\frac{5}{6} - \frac{4}{7} + \frac{1}{3} = \frac{35 -24 +14}{42} = \frac{25}{42}.

Resposta

\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} \;=\;\frac{25}{42}.

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