Estabeleça outro resultado básico de Mecânica Clássica:
Seja \vec{r}(t) a equação horária de uma partícula que se desloca da posição inicial \vec{r}\left(t_{1}\right) até a posição final \vec{r}\left(t_{2}\right), sob a ação de uma força \vec{F}=\vec{F}(\vec{r}(t)) .^{2} Adimita que o campo de forças \vec{F} seja conservativo, com potencial -\nabla u. Então a energia mecânica neste deslocamento permanece constante:
u\left(\overrightarrow{r_{1}}\right)+\frac{m v_{1}^{2}}{2}=u\left(\overrightarrow{r_{2}}\right)+\frac{m v_{2}^{2}}{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa m cuja posição é \vec r(t), sujeita a uma força conservativa \vec F(\vec r)=-\nabla u(\vec r). O objetivo é mostrar que
u\bigl(\vec r(t_1)\bigr)+\frac{m\,v(t_1)^2}{2} \;=\; u\bigl(\vec r(t_2)\bigr)+\frac{m\,v(t_2)^2}{2}\,.
O que vamos usar: a Segunda Lei de Newton e o conceito de trabalho de uma força conservativa ligado ao potencial u.

Passo 2

Pela Segunda Lei de Newton,
m\,\frac{d^2\vec r}{dt^2} \;=\;\vec F(\vec r(t)) \;=\; -\nabla u\bigl(\vec r(t)\bigr)\,.

Passo 3

Tomamos produto escalar de ambos os lados com a velocidade \vec v=\tfrac{d\vec r}{dt}. Isso nos dá
m\,\frac{d^2\vec r}{dt^2}\cdot\vec v \;=\;\vec F\cdot\vec v\,.
No lado esquerdo reconhecemos a derivada da energia cinética:
m\,\frac{d^2\vec r}{dt^2}\cdot\vec v =\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2\Bigr)\,.
No lado direito, usando \vec F=-\nabla u e a regra da cadeia,
\vec F\cdot\vec v =-\nabla u\cdot\frac{d\vec r}{dt} =-\frac{d}{dt}\bigl[u(\vec r(t))\bigr]\,.

Passo 4

Somando as duas expressões obtemos
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2\Bigr) \;=\; -\frac{d}{dt}\bigl[u(\vec r)\bigr] \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2 + u(\vec r)\Bigr)=0\,.
Isso significa que o total \tfrac12\,m\,v^2+u é constante no tempo. Integrando de t_1 até t_2 vem
\Bigl[\tfrac12\,m\,v^2 + u(\vec r)\Bigr]_{t_1}^{t_2}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac12\,m\,v(t_1)^2 + u\bigl(\vec r(t_1)\bigr) =\tfrac12\,m\,v(t_2)^2 + u\bigl(\vec r(t_2)\bigr)\,.

Resposta

u\bigl(\vec r_1\bigr)+\dfrac{m\,v_1^2}{2}=u\bigl(\vec r_2\bigr)+\dfrac{m\,v_2^2}{2}.

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