Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C}\left(x^{2} y-x y^{2}\right) e^{x^{2}+y^{2}} d s
onde C é a curva dada:
é o segmento de reta com início na origem e final no ponto ( 1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha com respeito ao comprimento de arco
\int_{C}\bigl(x^{2}y - x y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}\,ds
onde C é o segmento de reta de (0,0) até (1,2).
Para resolver vamos parametrizar C por um parâmetro t\in[0,1], calcular ds e reescrever a integral em termos de t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento ligando (0,0) a (1,2) por
\mathbf r(t) = (x(t),y(t)) = (t,\;2t),\quad 0 \le t \le 1.
Calculamos a derivada
\mathbf r'(t) = (1,2),
logo o elemento de arco é
ds = \bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt = \sqrt{1^{2}+2^{2}}\,dt = \sqrt{5}\,dt.

Passo 3

Substituímos x=t e y=2t no integrando:
x^{2}y - x y^{2} = t^{2}\cdot(2t) \;-\; t\cdot(2t)^{2} = 2t^{3} - 4t^{3} = -2t^{3},
e
e^{x^{2}+y^{2}} = e^{t^{2} + (2t)^{2}} = e^{5t^{2}}.
Portanto o integrando vezes ds vira
\bigl(x^{2}y - x y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}\,ds = \bigl(-2t^{3}\bigr)e^{5t^{2}}\;\bigl(\sqrt{5}\,dt\bigr) = -2\sqrt{5}\;t^{3}e^{5t^{2}}\,dt.

Passo 4

A integral original torna-se
\int_{0}^{1} -2\sqrt{5}\;t^{3}e^{5t^{2}}\,dt = -2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t^{3}e^{5t^{2}}\,dt.
Para \displaystyle\int t^{3}e^{5t^{2}}\,dt usamos a substituição
u = 5t^{2},\quad du = 10t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^{3}dt = t^{2}\,t\,dt = \frac{u}{5}\,\frac{du}{10} = \frac{u}{50}\,du.
Os limites em u vão de u(0)=0 a u(1)=5. Logo
\int_{0}^{1} t^{3}e^{5t^{2}}\,dt = \int_{0}^{5} \frac{u}{50}e^{u}\,du = \frac{1}{50}\int_{0}^{5}u\,e^{u}\,du.
Sabemos que
\int u\,e^{u}\,du = (u-1)e^{u} + C,
portanto
\int_{0}^{5}u\,e^{u}\,du = \bigl[(u-1)e^{u}\bigr]_{0}^{5} = (5-1)e^{5} - (-1)e^{0} = 4e^{5} + 1.
Assim
\int_{0}^{1} t^{3}e^{5t^{2}}\,dt = \frac{4e^{5}+1}{50}.

Passo 5

Voltando à integral completa,
\int_{C}\bigl(x^{2}y - x y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}\,ds = -2\sqrt{5}\;\frac{4e^{5}+1}{50} = -\frac{2\sqrt{5}}{50}\,(4e^{5}+1) = -\frac{\sqrt{5}}{25}\,(4e^{5}+1).

Resposta

-\frac{\sqrt{5}}{25}\bigl(4e^{5}+1\bigr)

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