Exprima a quantidade dada como um único logaritmo.
\frac{1}{5} \ln (x+2)^{3}+\frac{1}{2}\left[\ln x-\ln \left(x^{2}+3 x+2\right)^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\frac{1}{5}\ln (x+2)^{3} \;+\;\frac{1}{2}\Bigl[\ln x-\ln (x^{2}+3x+2)^{2}\Bigr]
como um único logaritmo. Vamos usar as propriedades:
– Regra de potência: \alpha\,\ln A=\ln(A^{\alpha}).
– Soma e diferença: \ln A+\ln B=\ln(AB) e \ln A-\ln B=\ln\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr).

Passo 2

Aplicando a regra de potência em cada termo:
\frac{1}{5}\ln (x+2)^{3} =\ln\bigl((x+2)^{3/5}\bigr), \qquad \frac{1}{2}\ln x =\ln\bigl(x^{1/2}\bigr),
e
\frac{1}{2}\ln\bigl((x^{2}+3x+2)^{2}\bigr) =\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Logo a soma vira
\ln\bigl((x+2)^{3/5}\bigr) +\ln\bigl(x^{1/2}\bigr) -\ln\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).

Passo 3

Agora juntamos os dois primeiros logs por soma e o último por diferença:
\ln\!\bigl((x+2)^{3/5}\cdot x^{1/2}\bigr) -\ln\!\bigl(x^{2}+3x+2\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{(x+2)^{3/5}\,x^{1/2}}{x^{2}+3x+2}\Bigr).

Passo 4

Fatoramos o denominador x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2) e simplificamos a potência de (x+2):
o numerador tem (x+2)^{3/5} e o denominador (x+2)^{1}, portanto o quociente é (x+2)^{3/5-1}=(x+2)^{-2/5}. Assim
\frac{(x+2)^{3/5}\,x^{1/2}}{(x+1)(x+2)} =\frac{x^{1/2}}{(x+1)\,(x+2)^{2/5}}.

Resposta

\ln\!\Bigl(\frac{x^{1/2}}{(x+1)\,(x+2)^{2/5}}\Bigr)

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