__Questão 6.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(x^{3} y+x y^{3}\right) \vec{i}+\left(y^{2}+x^{3}\right) \vec{j} ao se mover uma partícula ao longo da curva C dada pelo gráfico y=x^{5} de (-1,-1) até o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial \vec{F}(x,y) = \bigl(x^{3}y + x y^{3}\bigr)\,\vec{i} + \bigl(y^{2}+x^{3}\bigr)\,\vec{j}
ao longo da curva C dada por y = x^{5}, de (-1,-1) até (1,1).
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo não conservativo, pois se definirmos
P(x,y)=x^{3}y+x y^{3},\quad Q(x,y)=y^{2}+x^{3},
vemos que
\frac{\partial P}{\partial y}=x^{3}+3x y^{2},\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=3x^{2},
e \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x. Logo vamos parametrizar C e calcular \displaystyle W=\int_{C}P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Parametrizamos a curva C por
\vec r(t)=\bigl(t,\;t^{5}\bigr),\qquad -1\le t\le1.
Então
dx = dt, \qquad dy = 5t^{4}\,dt.

Passo 3

Substituímos na integral de linha:
P\bigl(t,t^{5}\bigr) = t^{3}\cdot t^{5} + t\cdot (t^{5})^{3} = t^{8} + t^{16},
Q\bigl(t,t^{5}\bigr) = (t^{5})^{2} + t^{3} = t^{10} + t^{3}.
Portanto o integrando fica
P\,dx + Q\,dy = \bigl(t^{8}+t^{16}\bigr)\,dt + \bigl(t^{10}+t^{3}\bigr)\,5t^{4}\,dt = \bigl(t^{8}+t^{16}+5t^{14}+5t^{7}\bigr)\,dt.

Passo 4

Agora integramos de t=-1 a t=1:
W = \int_{-1}^{1}\bigl(t^{8}+t^{16}+5t^{14}+5t^{7}\bigr)\,dt.
Como t^{7} é função ímpar, seu termo dá zero ao integrar de -1 a 1. Os demais são funções pares, logo
\int_{-1}^{1}t^{n}\,dt =\begin{cases} 0,&n\text{ ímpar},\\[6pt] \displaystyle \frac{2}{n+1},&n\text{ par}. \end{cases}í
Portanto
\int_{-1}^{1}t^{8}\,dt = \frac{2}{9},\quad \int_{-1}^{1}t^{16}\,dt = \frac{2}{17},\quad \int_{-1}^{1}5t^{14}\,dt = 5\cdot\frac{2}{15} = \frac{2}{3}.]

Passo 5

Somando os resultados:
W = \frac{2}{9} + \frac{2}{17} + \frac{2}{3} = \frac{8}{9} + \frac{2}{17} = \frac{8\cdot17 + 2\cdot9}{9\cdot17} = \frac{136 + 18}{153} = \frac{154}{153}.

Resposta

\displaystyle \frac{154}{153}

Exercícios relacionados