Dois carros fazem suas viagens seguindo as rodovias BR-1 e BR-2, respectivamente, tendo seus movimentos descritos por, \gamma_{1}(t)=\left(2 t, 3 t^{2}\right), t \geq 0 e \gamma_{2}(t)=(3 t, 18 t-12), t \geq 0, onde o tempo t é medido em horas.
a) No ponto de encontro dessas rodovias existe um radar de fiscalização de velocidade. Encontre as coordenadas desse radar de fiscalização.
b) Os dois carros passam juntos pelo radar de fiscalização? Se não, qual passa primeiro? Justifique.
c) Qual é a velocidade (escalar) de cada um dos carros registrada no radar?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias paramétricas de carros em função de t (horas): \gamma_{1}(t)=(2t,3t^{2}) e \gamma_{2}(t)=(3t,18t-12).
a) Pede o ponto de interseção dessas curvas (onde o radar está).
b) Pede comparar os instantes em que cada carro chega a esse ponto.
c) Pede as velocidades escalares no instante em que cada carro passa pelo radar.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção, procuramos t_{1},t_{2}\ge0 tais que
(2t_{1},\,3t_{1}^{2}) = (3t_{2},\,18t_{2}-12).
Igualando as componentes, vem
2t_{1}=3t_{2}, \quad 3t_{1}^{2}=18t_{2}-12.
Da primeira equação, t_{2}=\tfrac{2}{3}t_{1}. Substituindo na segunda:
3t_{1}^{2}=18\bigl(\tfrac{2}{3}t_{1}\bigr)-12 \;\Longrightarrow\; 3t_{1}^{2}=12t_{1}-12 \;\Longrightarrow\; t_{1}^{2}-4t_{1}+4=0 \;\Longrightarrow\; (t_{1}-2)^{2}=0 \;\Longrightarrow\; t_{1}=2.
Então t_{2}=\tfrac{2}{3}\cdot2=\tfrac{4}{3}. O ponto é
(2t_{1},3t_{1}^{2})=(2\cdot2,\,3\cdot2^{2})=(4,12).

Passo 3

Comparamos os instantes: o carro 1 chega no radar em t_{1}=2 h e o carro 2 em t_{2}=\tfrac{4}{3}\approx1{,}33 h. Como \tfrac{4}{3}<2, o carro 2 passa primeiro.

Passo 4

A velocidade vetorial é \mathbf v_i(t)=\gamma_i'(t).
Para i=1:
\mathbf v_1(t)=(2,\,6t),
então em t_{1}=2: \mathbf v_1(2)=(2,12) e a velocidade escalar é
\|\mathbf v_1(2)\| =\sqrt{2^{2}+12^{2}} =\sqrt{4+144} =\sqrt{148} =2\sqrt{37}.
Para i=2:
\mathbf v_2(t)=(3,\,18)
é constante, logo em t_{2}=\tfrac{4}{3}
\|\mathbf v_2\| =\sqrt{3^{2}+18^{2}} =\sqrt{9+324} =\sqrt{333} =3\sqrt{37}.

Resposta

a) O radar está em (4,12).
b) Não, eles não passam juntos: o carro 2 chega primeiro ( t_{2}=\tfrac{4}{3} h contra t_{1}=2 h).
c) Velocidades escalares no radar: \displaystyle v_{1}=2\sqrt{37} e \displaystyle v_{2}=3\sqrt{37}.

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