Determine o coeficiente de financiamento com entrada a ser aplicado em uma operação com três e quatro pagamentos. A taxa de juros definida para a operação é de 4,2 \% ao mês.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o coeficiente de financiamento com entrada para operações com três e com quatro pagamentos, sabendo que a taxa de juros é de \,4{,}2\% ao mês.\n
Informações dadas:
\text{taxa nominal por período } i = 4{,}2\% = 0{,}042.í
\text{nº de prestações } n \in \{3,4\}.ºçõ
Observação importante (dado ausente no enunciado): o enunciado não diz qual é o valor da entrada (se é uma porcentagem do preço, se é uma parcela, etc.). Sem essa informação não é possível obter um coeficiente numérico único. Vou, então, adotar a interpretação padrão usada em muitos problemas práticos e de prova: “entrada” igual a uma parcela (ou seja, paga-se uma parcela imediatamente como entrada, e o restante é financiado em n parcelas iguais). Essa é uma hipótese razoável que permite calcular um coeficiente numérico — vou explicar e justificar isso no próximo passo e seguir com os cálculos.

Passo 2

Justificativa do método escolhido e formulação do problema em termos matemáticos.\n
Definições e notação (tudo explícito):
  • Seja P o preço à vista do bem (ou preço total).
  • Seja A o valor de cada parcela (parcelas iguais).
  • Interpretação adotada: existe uma entrada igual a uma parcela, isto é, a entrada E vale E=A e é paga imediatamente (no tempo 0).
  • O restante do preço é financiado em n parcelas de valor A, pagas nos finais dos períodos 1,2,\dots,n.
Equação do equilíbrio do preço:
P = E + \text{(valor atual das }n\text{ parcelas)}.
Como E=A por hipótese e o valor atual (presente) de uma série de n parcelas A pagas no final dos períodos é A\cdot a_{\overline{n}|i} (onde a_{\overline{n}|i} é o fator de valor presente de uma anuidade imediata de n pagamentos unitários a taxa i), obtemos:
P = A + A\cdot a_{\overline{n}|i} = A\bigl(1 + a_{\overline{n}|i}\bigr).
Logo, a parcela A em função do preço P é
A = \dfrac{P}{1 + a_{\overline{n}|i}}.
O “coeficiente de financiamento com entrada” que queremos (valor da parcela por unidade do preço) é, portanto,
\text{coeficiente} \;=\; \dfrac{A}{P} \;=\; \dfrac{1}{1 + a_{\overline{n}|i}}.
Agora precisamos só calcular a_{\overline{n}|i} para n=3 e n=4 e i=0{,}042.
Explicação do fator a_{\overline{n}|i}: é o valor presente, à taxa i, de uma anuidade imediata de n pagamentos unitários ( 1 em cada final de período). A fórmula fechada é
a_{\overline{n}|i} = \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
Racional (breve): soma geométrica das potências v, v^2,\dots,v^n com v=(1+i)^{-1}; soma \sum_{k=1}^{n} v^k = v\frac{1-v^n}{1-v}. Como 1-v = 1 - (1+i)^{-1} = \dfrac{i}{1+i}, ao simplificar chega-se à forma acima equivalente à usada em finanças.

Passo 3

Cálculo para n=3.\n
Primeiro calculemos (1+i)^3 e seu inverso:
1+i = 1{,}042.
(1+i)^2 = 1{,}042^2 = 1 + 2\cdot0{,}042 + 0{,}042^2 = 1{,}085764.
(1+i)^3 = 1{,}085764\times 1{,}042 = 1{,}131366088.
Logo
(1+i)^{-3} = \dfrac{1}{1{,}131366088} \approx 0{,}8839069.
Agora o fator de anuidade:
a_{\overline{3}|i} = \dfrac{1 - (1+i)^{-3}}{i} = \dfrac{1 - 0{,}8839069}{0{,}042} = \dfrac{0{,}1160931}{0{,}042} \approx 2{,}764617.
Finalmente o coeficiente (parcela por unidade do preço) é
\frac{A}{P} = \dfrac{1}{1 + a_{\overline{3}|i}} = \dfrac{1}{1 + 2{,}764617} = \dfrac{1}{3{,}764617} \approx 0{,}265653.
Arredondando convenientemente, obtemos 0{,}2657 (ou 26{,}57\% do preço, por parcela, no esquema com entrada igual a uma parcela e mais 3 parcelas).

Passo 4

Cálculo para n=4.\n
Calculemos (1+i)^4 e seu inverso:
(1+i)^3 = 1{,}131366088 \quad\text{(do passo anterior)}.
(1+i)^4 = 1{,}131366088\times 1{,}042 = 1{,}1788834637.
(1+i)^{-4} = \dfrac{1}{1{,}1788834637} \approx 0{,}8482850.
Fator de anuidade:
a_{\overline{4}|i} = \dfrac{1 - (1+i)^{-4}}{i} = \dfrac{1 - 0{,}8482850}{0{,}042} = \dfrac{0{,}1517150}{0{,}042} \approx 3{,}612726.
Coeficiente:
\frac{A}{P} = \dfrac{1}{1 + a_{\overline{4}|i}} = \dfrac{1}{1 + 3{,}612726} = \dfrac{1}{4{,}612726} \approx 0{,}216711.
Arredondando, obtemos 0{,}2167 (ou 21{,}67\% do preço, por parcela, no esquema com entrada igual a uma parcela e mais 4 parcelas).

Resposta

3 pagamentos: 0{,}2657\n
4 pagamentos: 0{,}2167

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