Considere a equação integral
f(t)+integral0^t(t-x) f(x) d x=sin (2 t)
Resolva a equação integral via transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral de Volterra
f(t)+integral0^t(t-x),f(x),dx=sin(2t)
O conteúdo aqui é o uso da transformada de Laplace para equações integrais, aproveitando a linearidade e o teorema da convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja F(s)=Lf(t)(s). Usando
Llintegral0^t(t-x)f(x),dxr(s) =Lt(s),Lf(t)(s) =1s^2,F(s)
e
Lsin(2t)(s)=2s^2+4,
ficamos com
F(s)+1s^2F(s)=2s^2+4

Passo 3

Fatorando F(s), obtemos
F(s)l(1+1s^2r) =2s^2+4 Longrightarrow F(s)=2s^2+4,s^2s^2+1 =2s^2(s^2+1)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos frações parciais para
2s^2(s^2+1)(s^2+4) =As^2+1+Bs^2+4
Multiplicando em comum denominador:
2s^2=A(s^2+4)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(4A+B)
Igualando coeficientes:
A+B=2, 4A+B=0 Longrightarrow A=-tfrac23,;B=tfrac83

Passo 5

Logo
F(s)=-2/3s^2+1+8/3s^2+4
Inversão termo a termo dá
f(t)=-23sin(t)+83,12sin(2t) =-23sin t+43sin(2t)

Resposta

f(t)=43,sin(2t)-23,sin(t)

Exercícios relacionados