Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
l integralC z d x+x y d y+y^2 d z C: x=sen t, y=cos t, z=tg t, -pi / 4 <= t <= pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC z,dx + x y,dy + y^2,dz
ao longo da curva espacial C parametrizada por
x=sin t, y=cos t, z=tan t, -tfracpi4<= t<=tfracpi4
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial dado pelos escalares P=z, Q=xy, R=y^2, e vamos usar a parametrização de C e a fórmula
integralC P,dx+Q,dy+R,dz =integralt0^t1l[P(x(t),y(t),z(t)),x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t)),y'(t)+R(x(t),y(t),z(t)),z'(t)r]dt

Passo 2

Calculamos as derivadas da parametrização:
x'(t)=cos t, y'(t)=-sin t, z'(t)=sec^2t

Passo 3

Substituindo x(t),y(t),z(t) e as derivadas na integral, o integrando fica
z,x'+xy,y'+y^2,z' =tan tcdotcos t +(sin tcos t)(-sin t)+cos^2 tcdotsec^2 t
Simplificando cada termo:
tan tcos t=sin t, (sin tcos t)(-sin t)=-sin^2 tcos t, cos^2 t,sec^2 t=1
Logo o integrando é sin t - sin^2 tcos t +1.

Passo 4

Escrevemos a integral em t:
integral-pi/4^pi/4l(sin t +1r),dt -integral-pi/4^pi/4sin^2 tcos t,dt
Para a segunda integral, use u=sin t, du=cos t,dt, assim
integral sin^2 tcos t,dt =integral u^2,du=tfracu^33=tfracsin^3 t3
Para a primeira parte, integralsin t,dt=-cos t e integral1,dt=t. Portanto um antiderivado da soma é
F(t)=-cos t + t - tfracsin^3 t3

Passo 5

Avaliaremos F entre t=-pi/4 e t=pi/4.
Em t=pi/4:
F(tfracpi4)=-tfracraiz22+tfracpi4-tfrac(raiz2/2)^33 =-tfracraiz22+tfracpi4-tfracraiz212
Em t=-pi/4:
F(-tfracpi4)=-tfracraiz22-tfracpi4-tfrac(-raiz2/2)^33 =-tfracraiz22-tfracpi4+tfracraiz212
Subtraindo,
F(tfracpi4)-F(-tfracpi4) =l(tfracpi4-(-tfracpi4)r) -l(tfracraiz212+tfracraiz212r) =tfracpi2-tfracraiz26 =3pi-raiz26

Resposta

integralC z,dx + x y,dy + y^2,dz =3pi-raiz26

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