Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função
no ponto
e depois usar esses resultados para encontrar a derivada na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto e em uma direção específica mede a taxa de variação da função naquela direção. Para calcular, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
De forma semelhante, para
e
:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em
:
Calculando os denominadores:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos do vetor direção unitário. Nosso vetor dado é
. Para torná-lo unitário, dividimos cada componente pelo seu módulo. O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 7
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor direção unitário
. Ou seja:
Calculando:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.