Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função f no ponto P0 e na direção do vetor u.
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2), P0=(1,-2,4), u=(-2,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x, y, z) = ln(x^2 + y^2 + z^2) e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto P0 = (1, -2, 4) na direção do vetor u = (-2, 0, 0) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função f no ponto P0 e depois usar esses resultados para encontrar a derivada na direção de u .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto e em uma direção específica mede a taxa de variação da função naquela direção. Para calcular, usamos o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 3

O gradiente de uma função f(x, y, z) é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x , y e z .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 + z^2
De forma semelhante, para y e z :
partial fpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2, partial fpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, substituímos o ponto P0 = (1, -2, 4) nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em P0 :
nabla f(P0) = ( 2 cdot 11^2 + (-2)^2 + 4^2, 2 cdot (-2)1^2 + (-2)^2 + 4^2, 2 cdot 41^2 + (-2)^2 + 4^2 )
Calculando os denominadores:
1^2 + (-2)^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21
Então:
nabla f(P0) = ( 221, -421, 821 )

Passo 6

Agora, precisamos do vetor direção unitário. Nosso vetor dado é u = (-2, 0, 0) . Para torná-lo unitário, dividimos cada componente pelo seu módulo. O módulo de u é:
|u| = raiz(-2)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 = 2
Então, o vetor unitário v na direção de u é:
v = ( -22, 02, 02 ) = (-1, 0, 0)

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de f no ponto P0 com o vetor direção unitário v . Ou seja:
Du f(P0) = nabla f(P0) cdot v
Calculando:
Du f(P0) = ( 221, -421, 821 ) cdot (-1, 0, 0) = 221 cdot (-1) + -421 cdot 0 + 821 cdot 0 = -221

Resposta

A derivada direcional da função f no ponto P0 na direção do vetor u é -221 .

Exercícios relacionados