Encontre uma função
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma função
que satisfaça
O conteúdo principal é resolver uma equação integral de Volterra, que transformaremos em uma EDO de ordem superior por diferenciação.
Passo 2
Definimos
Então, pela regra de Leibniz para derivar integral com limite variável,
e, novamente,
A equação original é
Passo 3
Vamos diferenciar essa última igualdade para eliminar
.
Primeira diferenciação:
Primeira diferenciação:
Segunda diferenciação:
Portanto, tivemos conversão da equação integral inicial na EDO
Passo 4
Precisamos de três condições iniciais para essa EDO de terceira ordem.
- Do enunciado,
. - Avaliando a integral original em
temos , logo
dá . - De
segue , e como obtemos .
Passo 5
A equação característica de
é
cujos raízes são
Assim a solução geral real é
com
constantes a determinar.
Passo 6
Impondo as condições iniciais:
-
. -
e -
levam ao sistema
cuja solução é