Encontre uma função phi(t) tal que phi(0)=0 e phi^prime(t)+integral0^t(t-xi) phi(xi) d xi=1.

Passo 1

O enunciado pede uma função phi(t) que satisfaça
phi(0)=0 e phi'(t)+integral0^t(t-xi),phi(xi),dxi=1
O conteúdo principal é resolver uma equação integral de Volterra, que transformaremos em uma EDO de ordem superior por diferenciação.

Passo 2

Definimos
I(t)=integral0^t(t-xi),phi(xi),dxi
Então, pela regra de Leibniz para derivar integral com limite variável,
I'(t)=integral0^tpartialpartial tl[(t-xi),phi(xi)r]dxi =integral0^tphi(xi),dxi,
e, novamente,
I''(t)=phi(t)
A equação original é
phi'(t)+I(t)=1

Passo 3

Vamos diferenciar essa última igualdade para eliminar I(t).
Primeira diferenciação:
phi''(t)+I'(t)=0 ;Longrightarrow; phi''(t)+integral0^tphi(xi),dxi=0
Segunda diferenciação:
phi'''(t)+phi(t)=0
Portanto, tivemos conversão da equação integral inicial na EDO
phi'''(t)+phi(t)=0

Passo 4

Precisamos de três condições iniciais para essa EDO de terceira ordem.
  1. Do enunciado, phi(0)=0.
  2. Avaliando a integral original em t=0 temos I(0)=0, logo
    phi'(0)+I(0)=1 phi'(0)=1.
  3. De I'(t)=integral0^tphi(xi),dxi segue I'(0)=0, e como phi''(t)=-I'(t) obtemos phi''(0)=0.

Passo 5

A equação característica de
phi'''+phi=0 é
r^3+1=0,
cujos raízes são
r=-1, r=tfrac12pm i,tfracraiz32
Assim a solução geral real é
phi(t) =e^t/2l(Acos(tfracraiz32t)+Bsin(tfracraiz32t)r) + C,e^-t,
com A,B,C constantes a determinar.

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
  1. phi(0)=A+C=0.
  2. phi'(0)=1 e
  3. phi''(0)=0
    levam ao sistema
A+C=0, 32A+raiz32B=1, -32A+raiz32B=0,
cuja solução é
A=tfrac13, B=tfracraiz33, C=-tfrac13

Resposta

boxed phi(t) =e^t/23l(cosl(tfracraiz32tr) +raiz3sinl(tfracraiz32tr)r) -13e^-t

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