Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, em que F(x, y)=x y i+y^2 j e C é dada pela função vetorial r(t)=t^4 i+t^3 j,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y) = x y i + y^2 j e a curva C é definida pela função vetorial r(t) = t^4 i + t^3 j. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como calcular integrais de linha parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular integralC F cdot dr. Isso quer dizer que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial F com o vetor diferencial dr ao longo da curva C.

Passo 3

Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva C. Já temos r(t) = t^4 i + t^3 j. O próximo passo é encontrar dr/dt, que é a derivada de r(t) em relação a t.

Passo 4

Calculando a derivada:
drdt = ddt(t^4 i + t^3 j) = 4t^3 i + 3t^2 j

Passo 5

Agora, precisamos expressar o campo vetorial F em termos de t. Substituímos x e y pelas componentes de r(t):
F(r(t)) = (t^4)(t^3) i + (t^3)^2 j = t^7 i + t^6 j

Passo 6

Em seguida, calculamos o produto escalar F cdot drdt:
F cdot drdt = t^7 cdot 4t^3 + t^6 cdot 3t^2 = 4t^10 + 3t^8

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a t. Assumindo que t varia de 0 a 1, a integral fica:
integral0^1 (4t^10 + 3t^8) dt

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral 4t^10 dt = 4 cdot t^1111 = 411 t^11
integral 3t^8 dt = 3 cdot t^99 = 13 t^9

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 1:
411 t^11 + 13 t^9 |0^1 = ( 411(1)^11 + 13(1)^9 ) - ( 411(0)^11 + 13(0)^9 ) = 411 + 13

Resposta

A integral de linha é 2333.

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