Calcule a integral de linha , em que e é dada pela função vetorial ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva é definida pela função vetorial . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como calcular integrais de linha parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular . Isso quer dizer que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor diferencial ao longo da curva .
Passo 3
Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva . Já temos . O próximo passo é encontrar , que é a derivada de em relação a .
Passo 4
Calculando a derivada:
Passo 5
Agora, precisamos expressar o campo vetorial em termos de . Substituímos e pelas componentes de :
Passo 6
Em seguida, calculamos o produto escalar :
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a . Assumindo que varia de 0 a 1, a integral fica: