Calcule a integral de linha integralC x e^y z d s, em que C é o segmento de reta de ( 0,0,0 ) a (1,3,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (1,3,5). Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho C, encontrar a expressão para d s e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C. Como C é uma reta que vai de (0,0,0) a (1,3,5), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0 + t cdot 1, 0 + t cdot 3, 0 + t cdot 5) = (t, 3t, 5t)
Aqui, quando t=0, a posição é (0,0,0), e quando t=1, é (1,3,5).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar d s, que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada da parametrização em relação a t:
drdt = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 3, 5)
O módulo dessa derivada é:
| drdt | = raiz1^2 + 3^2 + 5^2 = raiz1 + 9 + 25 = raiz35
Então, d s = | drdt | dt = raiz35 , dt.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar. A função é x e^y z, então:
x(t) = t, y(t) = 3t, z(t) = 5t
Portanto:
x e^y z = t cdot e^(3t)(5t) = t cdot e^15 t^2

Passo 5

Agora, montamos a integral substituindo tudo:
integralC x e^y z d s = integral0^1 t cdot e^15 t^2 cdot raiz35 , dt = raiz35 integral0^1 t e^15 t^2 dt
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer:
u = 15 t^2 Rightarrow du = 30 t , dt Rightarrow t , dt = du30
Quando t=0, u=0; quando t=1, u=15.

Passo 6

Substituindo na integral:
raiz35 integral0^15 e^u30 du = raiz3530 integral0^15 e^u du = raiz3530 [ e^u ]0^15 = raiz3530 (e^15 - e^0) = raiz3530 (e^15 - 1)

Resposta

Então, o valor da integral de linha é:
raiz3530 ( e^15 - 1 )

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