Calcule a integral de linha , em que é o segmento de reta de ( ) a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho , encontrar a expressão para e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Aqui, quando , a posição é , e quando , é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada da parametrização em relação a :
O módulo dessa derivada é:
Então, d s = | drdt | dt = raiz35 , dt.
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar. A função é x e^y z, então:
x(t) = t, y(t) = 3t, z(t) = 5t
Portanto:
x e^y z = t cdot e^(3t)(5t) = t cdot e^15 t^2
Passo 5
Agora, montamos a integral substituindo tudo:
integralC x e^y z d s = integral0^1 t cdot e^15 t^2 cdot raiz35 , dt = raiz35 integral0^1 t e^15 t^2 dt
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer:
u = 15 t^2 Rightarrow du = 30 t , dt Rightarrow t , dt = du30