Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
\oint_{C} y d x-x d y, C é o círculo com centro na origem e raio 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} y\,dx - x\,dy
onde C é o círculo de centro na origem e raio 4. Vamos usar dois métodos: (a) parâmetrização direta e (b) Teorema de Green.

Passo 2

No método direto, parametrize o círculo por
x = 4\cos t,\quad y = 4\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
dx = -4\sin t\,dt,\quad dy = 4\cos t\,dt.
Substituindo em y\,dx - x\,dy, obtemos
y\,dx - x\,dy = (4\sin t)(-4\sin t\,dt)\;-\;(4\cos t)(4\cos t\,dt) = -16\sin^2 t\,dt \;-\;16\cos^2 t\,dt = -16\,dt.

Passo 3

Integramos de t=0 a t=2\pi:
\oint_{C} y\,dx - x\,dy = \int_{0}^{2\pi}(-16)\,dt = -16\bigl[\,t\,\bigr]_0^{2\pi} = -32\pi.

Passo 4

Pelo Teorema de Green, para uma curva fechada positivamente orientada e
P(x,y)=y,\quad Q(x,y)=-x,
temos
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui
\frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -2.

Passo 5

A região D é o disco de raio 4, com área \pi\cdot4^2=16\pi. Logo
\iint_{D}(-2)\,dA = -2\cdot\mathrm{Area}(D) = -2\cdot16\pi = -32\pi.

Resposta

-32\pi

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