Exemplo 02: Identificar o conjunto Dc cada caso.
f(\vec{t})=\left(\sqrt{1+t^{2}}, \frac{2 t}{1+t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\quad f(t)=\bigl(\sqrt{1+t^2},\,\tfrac{2t}{1+t^2}\bigr)
e pede o conjunto de definição D_c. Para isso, precisamos que ambos os componentes estejam definidos: a raiz quadrada exige o radicando não negativo e a fração exige denominador não nulo.

Passo 2

Analisando o primeiro componente \sqrt{1+t^2}, a condição é
1+t^2\ge 0.
Como t^2\ge0 para todo t\in\mathbb{R}, sempre vale 1+t^2\ge1>0. Portanto o domínio desse componente é
D_1 = \mathbb{R}.

Passo 3

Analisando o segundo componente \tfrac{2t}{1+t^2}, a condição é
1+t^2 \neq 0.
Mas 1+t^2\ge1>0 para todo t\in\mathbb{R}, logo nunca se anula. Portanto o domínio desse componente é
D_2 = \mathbb{R}.

Passo 4

O domínio da função f é a interseção dos domínios dos componentes:
D_c = D_1 \cap D_2 = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}.

Resposta

D_c = \mathbb{R}.

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