Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
\int_{C} y^{4} d x+2 x y^{3} d y, \quad C é a elipse x^{2}+2 y^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \r \displaystyle \oint_{C} y^{4}\,dx + 2x y^{3}\,dy \r
onde C é a elipse \r
\;x^{2} + 2y^{2} = 2 \r
orientada positivamente. Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz: \r
\displaystyle \oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA, \r
sendo D a região interior a C, P(x,y)=y^4 e Q(x,y)=2xy^3.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais \r
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x y^{3}) = 2y^{3},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{4}) = 4y^{3}.\r
Logo, o integrando de Green é \r
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2y^{3} - 4y^{3} = -2y^{3}.

Passo 3

Pela fórmula de Green,\r
\oint_{C} y^{4}\,dx + 2x y^{3}\,dy \;=\;\iint_{D} (-2y^{3})\,dA,\r
onde \r
D = \{(x,y)\mid x^{2} + 2y^{2} \le 2\}.

Passo 4

Note que D é simétrica em relação ao eixo x. A função y^{3} é ímpar em y, então \r
\iint_{D} y^{3}\,dA = 0.\r
Multiplicando por -2 continua sendo zero, ou seja, \r
\iint_{D} (-2y^{3})\,dA = -2\;\cdot 0 = 0.

Resposta

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