Exemplo 02: Identificar o conjunto Dc cada caso.
\overrightarrow{f(t)}=\left(1-t^{2}, \ln (1+3 t), \sqrt{1-t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor \overrightarrow{f}(t) = \bigl(1 - t^{2},\,\ln(1+3t),\,\sqrt{1 - t^{2}}\bigr)
e pede para identificar o conjunto de definições (domínios) de cada componente e, em seguida, o domínio comum onde todas estão definidas.

Passo 2

Analisando a primeira componente f_{1}(t)=1 - t^{2}:
Essa expressão é um polinômio em t, que está definido para todo t\in\mathbb{R}.
D_{1} = \mathbb{R}

Passo 3

Analisando a segunda componente f_{2}(t)=\ln(1+3t):
A função logarítmica natural exige que o argumento seja estritamente positivo:
1+3t > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > -\tfrac{1}{3}.
Portanto
D_{2} = \bigl(-\tfrac{1}{3},\,\infty\bigr).

Passo 4

Analisando a terceira componente f_{3}(t)=\sqrt{1 - t^{2}}:
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não-negativo:
1 - t^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -1 \le t \le 1.
Assim
D_{3} = [-1,\,1].

Passo 5

O domínio da função vetor \overrightarrow{f} é a interseção dos domínios das três componentes:
D = D_{1} \cap D_{2} \cap D_{3} = \mathbb{R} \;\cap\;\bigl(-\tfrac{1}{3},\infty\bigr)\;\cap\;[-1,1] = \bigl(-\tfrac{1}{3},\,1\bigr].

Resposta

O domínio comum de \overrightarrow{f}(t) é
\boxed{(-\tfrac{1}{3},\,1].}

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