Exemplo 02: Identificar o conjunto Dc cada caso. \overrightarrow{f(t)}=\left(1-t^{2}, \ln (1+3 t), \sqrt{1-t^{2}}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetor \overrightarrow{f}(t) = \bigl(1 - t^{2},\,\ln(1+3t),\,\sqrt{1 - t^{2}}\bigr)
e pede para identificar o conjunto de definições (domínios) de cada componente e, em seguida, o domínio comum onde todas estão definidas.
Passo 2
Analisando a primeira componente f_{1}(t)=1 - t^{2}:
Essa expressão é um polinômio em t, que está definido para todo t\in\mathbb{R}.
D_{1} = \mathbb{R}
Passo 3
Analisando a segunda componente f_{2}(t)=\ln(1+3t):
A função logarítmica natural exige que o argumento seja estritamente positivo:
1+3t > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > -\tfrac{1}{3}.
Portanto
D_{2} = \bigl(-\tfrac{1}{3},\,\infty\bigr).
Passo 4
Analisando a terceira componente f_{3}(t)=\sqrt{1 - t^{2}}:
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não-negativo: