Calcule a integral de linha por dois métodos:
(a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
onde
é a fronteira da região compreendida entre as circunferências
.
(a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha de duas maneiras diferentes: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral que vamos resolver é:
Aqui,
é a fronteira da região entre duas circunferências: uma com equação
e outra com
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e integrais de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva
. Como
é a fronteira entre duas circunferências, na verdade, temos duas trajetórias: uma no círculo menor (
) e outra no círculo maior (
).
Para parametrizar uma circunferência de raio
, usamos:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a integral para cada circunferência separadamente e depois somar os resultados. Primeiro, para o círculo com
(raio
):
Parametrização:
Derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a circunferência com
(raio
):
Parametrização:
Derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 5
Após parametrizar ambas as curvas, precisaríamos resolver essas integrais termo a termo. Porém, essas integrais são bem complicadas para resolver diretamente devido aos termos
e
. Por isso, é mais eficiente usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
Passo 6
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
e
.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então:
Passo 8
Agora, nossa integral dupla fica:
Perceba que
em coordenadas polares. Então, é conveniente trocar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 9
Em coordenadas polares,
e
. A região
está entre
e
, e
varia de
a
.
Substituindo na integral:
Passo 10
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é
.