Calcule a integral de linha por dois métodos:
(a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y
onde C é a fronteira da região compreendida entre as circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha de duas maneiras diferentes: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral que vamos resolver é:
integralC(1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy
Aqui, é a fronteira da região entre duas circunferências: uma com equação e outra com . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva x = r cos t y = r sin t . Como é a fronteira entre duas circunferências, na verdade, temos duas trajetórias: uma no círculo menor ( ) e outra no círculo maior ( ).
Para parametrizar uma circunferência de raio , usamos:
onde varia de a .

Passo 3

Vamos calcular a integral para cada circunferência separadamente e depois somar os resultados. Primeiro, para o círculo com x = 2 cos t y = 2 sin t (raio dx = -2 sin t , dt dy = 2 cos t , dt ):
Parametrização:
integral0^2pi (1 - (2 sin t)^3)(-2 sin t) + ((2 cos t)^3 + e^(2 sin t)^2)(2 cos t) , dt
Derivadas:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a circunferência com x = 3 cos t y = 3 sin t (raio dx = -3 sin t , dt dy = 3 cos t , dt ):
Parametrização:
integral0^2pi (1 - (3 sin t)^3)(-3 sin t) + ((3 cos t)^3 + e^(3 sin t)^2)(3 cos t) , dt
Derivadas:
Substituindo na integral:

Passo 5

Após parametrizar ambas as curvas, precisaríamos resolver essas integrais termo a termo. Porém, essas integrais são bem complicadas para resolver diretamente devido aos termos e . Por isso, é mais eficiente usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.

Passo 6

Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde e .

Passo 7

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + e^y^2) = 3x^2 partial Ppartial y = partialpartial y (1 - y^3) = -3y^2
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 8

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 3x^2 + 3y^2 , dA = 3 integral duplaD x^2 + y^2 , dA
Perceba que em coordenadas polares. Então, é conveniente trocar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 9

Em coordenadas polares, 3 integral0^2pi integral2^3 r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral2^3 r^3 , dr , dtheta e . A região está entre e , e varia de a .
Substituindo na integral:

Passo 10

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral2^3 r^3 , dr = [ r^44 ]2^3 = 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654
Agora, a integral externa:
3 integral0^2pi 654 , dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952 pi

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é .

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