Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = x / (4 x + 1)

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso significa que vamos expressar a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de e descobrir para quais valores de essa soma faz sentido e converge para a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica de séries que conhecemos: a série geométrica. Ela diz que:
Nossa meta é manipular a função para que ela fique parecida com o lado esquerdo dessa fórmula, assim podemos usar a série geométrica para representar .

Passo 3

Vamos reescrever de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica:
Agora, queremos que o denominador fique no formato . Para isso, observe que:
Agora temos algo na forma , onde .

Passo 4

Aplicando a série geométrica à expressão que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por para obter :

Passo 5

Podemos ajustar o índice da soma para que os poderes de comecem em :
Essa é a representação em série de potências da função .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Lembrando que usamos a condição da série geométrica, temos:
Então, a série converge para a função quando está dentro desse intervalo.

Resposta

A representação em série de potências de é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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