Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso significa que vamos expressar a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
e descobrir para quais valores de
essa soma faz sentido e converge para a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica de séries que conhecemos: a série geométrica. Ela diz que:
Nossa meta é manipular a função
para que ela fique parecida com o lado esquerdo dessa fórmula, assim podemos usar a série geométrica para representar
.
Passo 3
Vamos reescrever
de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica:
Agora, queremos que o denominador fique no formato
. Para isso, observe que:
Agora temos algo na forma
, onde
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica à expressão que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por
para obter
:
Passo 5
Podemos ajustar o índice da soma para que os poderes de
comecem em
:
Essa é a representação em série de potências da função
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Lembrando que usamos a condição
da série geométrica, temos:
Então, a série converge para a função
quando
está dentro desse intervalo.
Resposta
A representação em série de potências de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é: