[ ] A edo 2 e^(x+y) dy - e^(2x-y) dx = 0 é separável.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A equação diferencial que temos é:
A questão quer saber se essa equação é separável. Em termos de matemática, uma equação diferencial é separável se conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação, ou seja, colocar tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular equações diferenciais e aplicar a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade:
Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Vamos simplificar a fração do lado direito para ver se conseguimos separar as variáveis. Vamos trabalhar com o expoente das funções exponenciais. Lembre-se que .
Então:
Simplificando os expoentes:
Portanto:
Agora, nossa equação fica:

Passo 4

Para separar as variáveis e , queremos ter todas as expressões com do lado esquerdo e todas as expressões com do lado direito. Vamos dividir ambos os lados por (o que é o mesmo que multiplicar por ):
Agora, temos:
Isso mostra que a equação é separável, pois conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 5

Agora que a equação é separável, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Vamos calcular cada integral:
  1. :
    • A integral de em relação a é .
    • Então, .
  2. :
    • A integral de em relação a é .
    • Então, .
Portanto, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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