[ ] A edo
é separável.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A equação diferencial que temos é:
A questão quer saber se essa equação é separável. Em termos de matemática, uma equação diferencial é separável se conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação, ou seja, colocar tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular equações diferenciais e aplicar a técnica de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade:
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Vamos simplificar a fração do lado direito para ver se conseguimos separar as variáveis. Vamos trabalhar com o expoente das funções exponenciais. Lembre-se que
.
Então:
Simplificando os expoentes:
Portanto:
Agora, nossa equação fica:
Passo 4
Para separar as variáveis
e
, queremos ter todas as expressões com
do lado esquerdo e todas as expressões com
do lado direito. Vamos dividir ambos os lados por
(o que é o mesmo que multiplicar por
):
Agora, temos:
Isso mostra que a equação é separável, pois conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 5
Agora que a equação é separável, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Vamos calcular cada integral:
-
: - A integral de
em relação a é . - Então,
.
- A integral de
-
: - A integral de
em relação a é . - Então,
.
- A integral de
Portanto, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.