Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
onde
é a fronteira da região compreendida entre as circunferências
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você enviou. O exercício pede para calcular a integral de linha
, usando dois métodos: diretamente e com o Teorema de Green.
A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
(que é a fronteira entre dois círculos) e aplicar as fórmulas de integração de linha, além de conhecer o Teorema de Green para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a fronteira da região entre as circunferências
e
. Isso forma um anel com raio interno 2 e raio externo 3.
Para calcular a integral diretamente, precisamos parametrizar essa curva. Como o anel tem duas bordas, vamos considerar que
é composta por duas curvas:
(círculo interno) e
(círculo externo).
Passo 3
Vamos parametrizar cada uma das circunferências usando coordenadas polares. Para uma circunferência de raio
, as parametrizações são:
-
Para
(raio 2): -
Para
(raio 3):
Essas parametrizações nos ajudam a expressar
e
em termos de
.
Passo 4
Vamos calcular
e
para cada parametrização:
-
Para
: -
Para
:
Agora, substituímos essas expressões na integral original para cada curva.
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes, uma para
e outra para
:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 6
Primeiro, para
(raio 2):
Simplificando:
Passo 7
Agora, para
(raio 3):
Simplificando:
Passo 8
Essas integrais podem ser bastante complicadas para resolver diretamente, especialmente devido aos termos
. Portanto, vamos usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva limita. Especificamente:
Onde
é a região delimitada por
.
Passo 9
Vamos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, identificamos
e
.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 10
Agora, a integral dupla sobre a região
será:
Como
é um anel entre
e
, é conveniente usar coordenadas polares para calcular essa integral.
Em coordenadas polares,
e
. Assim, a integral se torna:
Passo 11
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral dupla fica:
Passo 12
Portanto, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha é igual a
.
Resposta
A integral de linha
é igual a
.