Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y
onde C é a fronteira da região compreendida entre as circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você enviou. O exercício pede para calcular a integral de linha , usando dois métodos: diretamente e com o Teorema de Green.
A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva (que é a fronteira entre dois círculos) e aplicar as fórmulas de integração de linha, além de conhecer o Teorema de Green para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a fronteira da região entre as circunferências e . Isso forma um anel com raio interno 2 e raio externo 3.
Para calcular a integral diretamente, precisamos parametrizar essa curva. Como o anel tem duas bordas, vamos considerar que é composta por duas curvas: (círculo interno) e (círculo externo).

Passo 3

Vamos parametrizar cada uma das circunferências usando coordenadas polares. Para uma circunferência de raio x = 2 cos theta, y = 2 sin theta, theta in [0, 2pi] , as parametrizações são:
  • Para x = 3 cos theta, y = 3 sin theta, theta in [0, 2pi] (raio 2):
  • Para (raio 3):
Essas parametrizações nos ajudam a expressar e em termos de .

Passo 4

Vamos calcular dx = -2 sin theta , dtheta, dy = 2 cos theta , dtheta e dx = -3 sin theta , dtheta, dy = 3 cos theta , dtheta para cada parametrização:
  • Para :
  • Para :
Agora, substituímos essas expressões na integral original para cada curva.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes, uma para integralC (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy = integralC1 (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy + integralC2 (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy e outra para :
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Primeiro, para integralC1 (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy = integral0^2pi [1 - (2 sin theta)^3] (-2 sin theta) dtheta + [(2 cos theta)^3 + e^(2 sin theta)^2] (2 cos theta) dtheta (raio 2):
= integral0^2pi [-2 sin theta + 16 sin^4 theta ] dtheta + integral0^2pi [8 cos^4 theta + e^4 sin^2 theta] 2 cos theta dtheta
Simplificando:

Passo 7

Agora, para integralC2 (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y^2) dy = integral0^2pi [1 - (3 sin theta)^3] (-3 sin theta) dtheta + [(3 cos theta)^3 + e^(3 sin theta)^2] (3 cos theta) dtheta (raio 3):
= integral0^2pi [-3 sin theta + 81 sin^4 theta ] dtheta + integral0^2pi [27 cos^4 theta + e^9 sin^2 theta] 3 cos theta dtheta
Simplificando:

Passo 8

Essas integrais podem ser bastante complicadas para resolver diretamente, especialmente devido aos termos ointC ( M dx + N dy ) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA . Portanto, vamos usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva limita. Especificamente:
Onde é a região delimitada por .

Passo 9

Vamos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, identificamos partial Npartial x = partialpartial x (x^3 + e^y^2) = 3x^2 e partial Mpartial y = partialpartial y (1 - y^3) = -3y^2 .
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)
Então,

Passo 10

Agora, a integral dupla sobre a região integral duplaD 3(x^2 + y^2) dA será:
integral0^2pi integral2^3 3r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral2^3 r^3 , dr , dtheta
Como é um anel entre e , é conveniente usar coordenadas polares para calcular essa integral.
Em coordenadas polares, e . Assim, a integral se torna:

Passo 11

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral2^3 r^3 dr = [ r^44 ]2^3 = 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654
Então, a integral dupla fica:
3 integral0^2pi 654 dtheta = 1954 integral0^2pi dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952 pi

Passo 12

Portanto, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha é igual a .

Resposta

A integral de linha é igual a .

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