(2,5) Dado o campo vetorial F(x, y, z) = e^(x^2) i + (x+z) j + (2x-z) k :
(a) Calcule o rotacional de F

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício. A gente precisa calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional é uma operação na matemática que nos ajuda a entender como o campo “gira” ou “rota” em torno de um ponto. Para calcular isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . A fórmula do rotacional é dada por:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. : Como não depende de , essa derivada é 0.
  2. : , então derivando em relação a , temos 1.
  3. : não depende de , então essa derivada é 0.
  4. : , derivando em relação a , temos 2.
  5. : , derivando em relação a , temos 1.
  6. : não depende de , então essa derivada é 0.

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O rotacional de é .

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