(2.0) Calcule a integral de superfície integral duplasigma u+v^2 d S onde sigma é o plano dado pela parametrização r(u, v)=(u+v) i+(2-3 u) j+(1+u-v) k e 0 <= u <= 2 e -1 <= v <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é um plano definido pela parametrização com e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a formulação de integrais de superfície utilizando parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a ru = partial rpartial u = partialpartial u(u+v)i + partialpartial u(2-3u)j + partialpartial u(1+u-v)k = i - 3j + k e rv = partial rpartial v = partialpartial v(u+v)i + partialpartial v(2-3u)j + partialpartial v(1+u-v)k = i - k . Isso significa derivar em relação a cada variável:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses vetores parciais ru times rv = i & j & k 1 & -3 & 1 1 & 0 & -1 = i((-3)(-1) - (1)(0)) - j((1)(-1) - (1)(1)) + k((1)(0) - (-3)(1)) . O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e sua magnitude corresponde a = i(3) - j(-2) + k(3) = 3i + 2j + 3k :

Passo 4

A magnitude desse vetor é importante porque ela representa o elemento de área | ru times rv | = raiz3^2 + 2^2 + 3^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22 . Vamos calcular:
Portanto, .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de superfície. A integral dupla fica:
integral duplasigma (u + v^2) , dS = integralu=0^2 integralv=-1^3 (u + v^2) raiz22 , dv , du
Como = raiz22 integral0^2 integral-1^3 (u + v^2) , dv , du é constante, podemos fatorá-la para fora da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-1^3 (u + v^2) , dv = integral-1^3 u , dv + integral-1^3 v^2 , dv :
= u [ v ]-1^3 + [ v^33 ]-1^3
= u (3 - (-1)) + ( 273 - (-1)^33 )
= 4u + ( 9 - ( -13 ) ) = 4u + 283

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
raiz22 integral0^2 ( 4u + 283 ) , du = raiz22 [ 2u^2 + 283u ]0^2
= raiz22 ( 2(4) + 283(2) - 0 ) = raiz22 ( 8 + 563 ) = raiz22 ( 243 + 563 ) = raiz22 ( 803 )

Resposta

A integral de superfície vale .

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