(2.0) Calcule a integral de superfície onde é o plano dado pela parametrização e e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é um plano definido pela parametrização com e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a formulação de integrais de superfície utilizando parametrizações.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a e . Isso significa derivar em relação a cada variável:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses vetores parciais . O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e sua magnitude corresponde a :
Passo 4
A magnitude desse vetor é importante porque ela representa o elemento de área | ru times rv | = raiz3^2 + 2^2 + 3^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22 . Vamos calcular:
Portanto, .
Passo 5
Agora, podemos montar a integral de superfície. A integral dupla fica:
integral duplasigma (u + v^2) , dS = integralu=0^2 integralv=-1^3 (u + v^2) raiz22 , dv , du
Como = raiz22 integral0^2 integral-1^3 (u + v^2) , dv , du é constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a integral-1^3 (u + v^2) , dv = integral-1^3 u , dv + integral-1^3 v^2 , dv :