Suponha que as funções
são contínuas em
e tais que
e
. Mostre que existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções contínuas,
e
, definidas no intervalo
. Sabemos que no começo do intervalo,
é menor que
, e no final,
é menor que
. Nosso objetivo é provar que existe pelo menos um ponto
dentro do intervalo
onde
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que uma função contínua atinge todos os valores entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema criando uma nova função que mostra a diferença entre
e
. Vamos definir:
Como
e
são contínuas no intervalo
, a função
também será contínua nesse intervalo, já que a soma e a subtração de funções contínuas continuam contínuas.
Passo 3
Agora, vamos analisar os valores de
nas extremidades do intervalo:
- Em
:
Sabemos que
, então
.
- Em
:
Sabemos que
, então
.
Passo 4
Como
é uma função contínua no intervalo
e muda de negativo para positivo, o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um ponto
em
onde
. Isso significa que:
Resposta
Existe pelo menos um ponto
no intervalo
tal que
.