Suponha que as funções f, g: [a, b] -> R são contínuas em [a, b] e tais que f(a) < g(a) e g(b) < f(b). Mostre que existe c em (a, b) tal que f(c) = g(c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções contínuas, e , definidas no intervalo . Sabemos que no começo do intervalo, é menor que , e no final, é menor que . Nosso objetivo é provar que existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde é igual a . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que uma função contínua atinge todos os valores entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema criando uma nova função que mostra a diferença entre e . Vamos definir:
Como e são contínuas no intervalo , a função também será contínua nesse intervalo, já que a soma e a subtração de funções contínuas continuam contínuas.

Passo 3

Agora, vamos analisar os valores de nas extremidades do intervalo:
  • Em :
Sabemos que , então .
  • Em :
Sabemos que , então .

Passo 4

Como é uma função contínua no intervalo e muda de negativo para positivo, o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um ponto em onde . Isso significa que:

Resposta

Existe pelo menos um ponto no intervalo tal que .

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