Calcule a integral de linha de F(x, y, z)=x e^z i+y j+z k ao longo do caminho C dado pelo arco de circunferência no plano y z, centrado na origem, que une os pontos (0,0,-1) a (0,0,1) nesse sentido e com y <= 0 R: 0 .

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y,z)=x e^z,i+y,j+z,k ao longo de C, que é o semi‐círculo de raio 1 no plano x=0, ligando (0,0,-1) a (0,0,1) passando por pontos com y<=0. Para resolver, vamos:
  1. parametrizar C respeitando a orientação dada,
  2. calcular F(r(t)) e r'(t),
  3. fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Escolhemos a parametrização
r(t)=l(0,;sin t,;cos tr), tin[-pi,0]
De fato, em t=-pi temos r(-pi)=(0,0,-1), em t=0 temos r(0)=(0,0,1), e para tin(-pi,0) vale sin t<=0, ou seja y<=0.

Passo 3

Calculamos primeiro
r'(t)=l(0,;cos t,;-,sin tr)
Em seguida, sobre a curva x=0, a campo é
F(r(t)) =l(0cdot e^cos t,;sin t,;cos tr) =(0,;sin t,;cos t)
O produto escalar é
F(r(t))cdotr'(t) =(0)(0)+(sin t)(cos t)+(cos t)(-sin t) =sin tcos t-sin tcos t=0

Passo 4

Como o integrando é zero, a integral de t=-pi até t=0 é
integral-pi^00;dt=0

Resposta

0

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