Calcule a integral de linha da função dada ao longo das curvas abaixo.
f(x, y)=x em que C=(x, y) in R^2 ; y=x^2, 0 <= x <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função f(x, y) = x ao longo da curva C onde y = x^2 e x vai de 0 até 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais de linha, que envolvem calcular somas de valores de uma função ao longo de uma curva no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar uma expressão para o elemento de comprimento ds e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C . Como y = x^2 e x varia de 0 a 1, uma maneira simples de parametrizar é escolher x como parâmetro. Então, temos:
x = t com t in [0, 1]
y = t^2
Assim, a parametrização da curva C fica r(t) = (t, t^2) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds em termos de t . Para isso, calculamos as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = 1
dydt = 2t
O elemento de comprimento ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz1 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos f(x, y) = x na parametrização, que é x = t . Então, a integral de linha fica:
integralC f(x, y) , ds = integral0^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt
Vamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
u = 1 + 4t^2 Rightarrow du = 8t , dt Rightarrow t , dt = du8
A integral fica:
integralu=1^u=5 raizu cdot 18 , du = 18 integral1^5 u^1/2 , du
Integrando:
18 cdot [ 23 u^3/2 ]1^5 = 112 ( 5^3/2 - 1^3/2 ) = 112 ( 5raiz5 - 1 )

Resposta

A integral de linha é igual a 112 ( 5raiz5 - 1 ) .

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