Calcule a integral de linha da função dada ao longo das curvas abaixo.
em que
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função
ao longo da curva
onde
e
vai de 0 até 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais de linha, que envolvem calcular somas de valores de uma função ao longo de uma curva no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar uma expressão para o elemento de comprimento
e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
e
varia de 0 a 1, uma maneira simples de parametrizar é escolher
como parâmetro. Então, temos:
Assim, a parametrização da curva
fica
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento
em termos de
. Para isso, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
O elemento de comprimento
é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos
na parametrização, que é
. Então, a integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
A integral fica:
Integrando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.