Determine se os subconjuntos do plano dados abaixo são ou não: aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Esboçá-los.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar o conjunto
e determinar se ele é aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Além disso, precisamos fazer um esboço desse conjunto.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Conjunto aberto: Um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe uma “bola” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto.
- Conjunto conexo: Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois conjuntos abertos e disjuntos.
- Conjunto simplesmente conexo: Além de ser conexo, um conjunto simplesmente conexo não tem “furos” ou “buracos”; basicamente, qualquer ciclo no conjunto pode ser encolhido a um ponto sem sair do conjunto.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades para o conjunto
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Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como é o conjunto
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O conjunto
é a união de dois conjuntos:
-
: Esse conjunto consiste em todos os pontos no plano onde o valor absoluto de está entre 1 e , ou seja, é maior que e . -
: Esse é o conjunto de todos os pontos no plano onde , ou seja, uma linha horizontal.
Vamos visualizar isso para facilitar a análise.
Passo 3
Análise da Abertura do Conjunto
Para determinar se
é aberto, precisamos verificar se, para cada ponto em
, existe uma pequena “bola” ao redor desse ponto que também está totalmente dentro de
.
-
Conjunto
: As condições implicam que e . Esse conjunto não inclui os limites onde ou . Além disso, como deve ser maior que , está acima das linhas e exclui essas linhas. Portanto, é um conjunto aberto. -
Conjunto
: O conjunto de pontos onde é uma linha reta sem espessura. Para qualquer ponto nesta linha, não é possível desenhar uma “bola” ao redor que fique completamente dentro de (pois qualquer bola incluiria pontos com diferentes de -1). Portanto, não é aberto.
Como
é a união de
(aberto) e
(não aberto), o conjunto
não é aberto.
Passo 4
Análise da Conexidade do Conjunto
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes que não se tocam. Vamos ver se isso acontece com
.
-
Conjunto
: Este é um conjunto contínuo acima das linhas , sem interrupções, então é conexo. -
Conjunto
: É uma linha reta separada de . Observando as condições de , sabemos que , enquanto está em . Portanto, há uma separação entre e .
Assim,
é a união de dois conjuntos que não se conectam entre si. Portanto,
não é conexo.
Passo 5
Análise da Simples Conexidade do Conjunto
Um conjunto simplesmente conexo deve ser conexo e não conter “buracos”. Porém, já vimos que
não é conexo, o que automaticamente significa que não é simplesmente conexo.
Passo 6
Esboço do Conjunto
Para esboçar
, vamos representar os dois conjuntos que o compõem:
-
Conjunto
: É a região no plano onde e . Isso forma uma área aberta acima das linhas e , começando a partir de . -
Conjunto
: É a linha reta onde , que está abaixo de e não se conecta com ela.
Assim, o esboço será uma área aberta acima de
e uma linha horizontal em
.
Resposta
O conjunto
não é aberto, não é conexo e, portanto, não é simplesmente conexo. O esboço de
consiste em uma região aberta acima de
delimitada pelas linhas
e
, juntamente com a linha horizontal em
.