Determine se os subconjuntos do plano dados abaixo são ou não: aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Esboçá-los.
E=(x, y) in R^2 ; 1<|x|<y cup(x, y) in R^2 ; y=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar o conjunto E = (x, y) in R^2 ;, 1<|x|<y cup (x, y) in R^2 ;, y=-1 e determinar se ele é aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Além disso, precisamos fazer um esboço desse conjunto.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Conjunto aberto: Um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe uma “bola” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto.
  • Conjunto conexo: Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois conjuntos abertos e disjuntos.
  • Conjunto simplesmente conexo: Além de ser conexo, um conjunto simplesmente conexo não tem “furos” ou “buracos”; basicamente, qualquer ciclo no conjunto pode ser encolhido a um ponto sem sair do conjunto.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades para o conjunto E .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como é o conjunto E .
O conjunto E é a união de dois conjuntos:
  1. A = (x, y) in R^2 ;, 1<|x|<y : Esse conjunto consiste em todos os pontos no plano onde o valor absoluto de x está entre 1 e y , ou seja, y é maior que |x| e |x| > 1 .
  2. B = (x, y) in R^2 ;, y=-1 : Esse é o conjunto de todos os pontos no plano onde y = -1 , ou seja, uma linha horizontal.
Vamos visualizar isso para facilitar a análise.

Passo 3

Análise da Abertura do Conjunto E
Para determinar se E é aberto, precisamos verificar se, para cada ponto em E , existe uma pequena “bola” ao redor desse ponto que também está totalmente dentro de E .
  • Conjunto A : As condições 1 < |x| < y implicam que y > 1 e y > |x| . Esse conjunto não inclui os limites onde |x| = 1 ou y = |x| . Além disso, como y deve ser maior que |x| , A está acima das linhas y = |x| e exclui essas linhas. Portanto, A é um conjunto aberto.
  • Conjunto B : O conjunto de pontos onde y = -1 é uma linha reta sem espessura. Para qualquer ponto nesta linha, não é possível desenhar uma “bola” ao redor que fique completamente dentro de B (pois qualquer bola incluiria pontos com y diferentes de -1). Portanto, B não é aberto.
Como E é a união de A (aberto) e B (não aberto), o conjunto E não é aberto.

Passo 4

Análise da Conexidade do Conjunto E
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes que não se tocam. Vamos ver se isso acontece com E .
  • Conjunto A : Este é um conjunto contínuo acima das linhas y = |x| , sem interrupções, então A é conexo.
  • Conjunto B : É uma linha reta separada de A . Observando as condições de A , sabemos que y > 1 , enquanto B está em y = -1 . Portanto, há uma separação entre A e B .
Assim, E é a união de dois conjuntos que não se conectam entre si. Portanto, E não é conexo.

Passo 5

Análise da Simples Conexidade do Conjunto E
Um conjunto simplesmente conexo deve ser conexo e não conter “buracos”. Porém, já vimos que E não é conexo, o que automaticamente significa que não é simplesmente conexo.

Passo 6

Esboço do Conjunto E
Para esboçar E , vamos representar os dois conjuntos que o compõem:
  1. Conjunto A : É a região no plano onde y > |x| e y > 1 . Isso forma uma área aberta acima das linhas y = x e y = -x , começando a partir de y = 1 .
  2. Conjunto B : É a linha reta onde y = -1 , que está abaixo de A e não se conecta com ela.
Assim, o esboço será uma área aberta acima de y = 1 e uma linha horizontal em y = -1 .

Resposta

O conjunto E não é aberto, não é conexo e, portanto, não é simplesmente conexo. O esboço de E consiste em uma região aberta acima de y = 1 delimitada pelas linhas y = x e y = -x , juntamente com a linha horizontal em y = -1 .

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