(4) sumk=1^infty 7^k+3^k5^k

Passo 1

O enunciado pede o valor da série infinita
sumk=1^infty7^k+3^k5^k
O conteúdo aqui é séries geométricas e o teste da razão.

Passo 2

Separemos a soma em duas séries geométricas:
sumk=1^infty7^k+3^k5^k =sumk=1^inftyl(75r)^k +sumk=1^inftyl(35r)^k

Passo 3

Analisamos cada série:
  • Para sumk=1^inftyl(tfrac75r)^k, a razão é tfrac75>1. Logo essa série diverge (os termos não tendem a zero).
  • Para sumk=1^inftyl(tfrac35r)^k, a razão é tfrac35<1, então ela converge ao valor
tfrac351-tfrac35 =tfrac35tfrac25 =32

Passo 4

Como uma das parcelas (a de razão tfrac75) diverge, a soma total também diverge.

Resposta

A série diverge.

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