Calcule, se possível, os seguintes limites:
lim x +infty(x-27x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = limxto+inftyl(x-tfrac27x+1r)^x
Este é um tipo “ 1+pequeno elevado a grande” e podemos usar a forma exponencial via logaritmo ou reescrever em termos de l(1+unr)^n.

Passo 2

Reescrevemos a fração interna como
x-tfrac27x+1 = x+1 - tfrac97x+1 = 1 - tfrac97x+1

Passo 3

Definindo
L = limxto+inftyl(1 - 9/7x+1r)^x,
podemos usar que
l(1 - 9/7x+1r)^x = l(1 - 9/7x+1r)^,x+1 cdot l(1 - 9/7x+1r)^-1
Quando xto+infty, o segundo fator tende a 1, e o primeiro tende a
limxto+infty l(1 - 9/7x+1r)^x+1 = e^-tfrac97
Logo L=e^-9/7.

Resposta

boxede^-tfrac97

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