Calcule a integral de linha da função dada ao longo das curvas abaixo.
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integral de linha. A função que vamos integrar é
, e a curva
pela qual vamos integrar é definida pela equação
. Então, basicamente, precisamos calcular a integral de
ao longo de uma circunferência centrada em (0,1) com raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma curva e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva [C). A equação
representa um círculo com centro em (0,1) e raio 3. Uma forma comum de parametrizar um círculo é usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Então, podemos definir um parâmetro
que varia de 0 a
para representar um ponto qualquer na circunferência.
Então, a parametrização fica assim:
onde .
Passo 3
Agora que temos a parametrização da curva, precisamos encontrar o diferencial de arco
, que representa um pequeno trecho da curva. Para isso, usamos as derivadas das funções parametrizadas em relação a
.
Calculando as derivadas:
Então, o diferencial de arco
é dado por:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos a função
pela expressão que encontramos na parametrização. Temos:
Então, a integral de linha fica:
Passo 5
Vamos agora calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de linha da função
ao longo da curva
é
.