Calcule a integral de linha da função dada ao longo das curvas abaixo.
f(x, y)=y em que C=(x, y) in R^2 ; x^2+(y-1)^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integral de linha. A função que vamos integrar é f(x, y) = y , e a curva C pela qual vamos integrar é definida pela equação x^2 + (y - 1)^2 = 9 . Então, basicamente, precisamos calcular a integral de y ao longo de uma circunferência centrada em (0,1) com raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma curva e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva [C). A equação representa um círculo com centro em (0,1) e raio 3. Uma forma comum de parametrizar um círculo é usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Então, podemos definir um parâmetro que varia de 0 a para representar um ponto qualquer na circunferência.
Então, a parametrização fica assim:
onde .

Passo 3

Agora que temos a parametrização da curva, precisamos encontrar o diferencial de arco ds , que representa um pequeno trecho da curva. Para isso, usamos as derivadas das funções parametrizadas em relação a t .
Calculando as derivadas:
dxdt = -3 sin t dydt = 3 cos t
Então, o diferencial de arco ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(-3 sin t)^2 + (3 cos t)^2 , dt = raiz9 sin^2 t + 9 cos^2 t , dt = raiz9 (sin^2 t + cos^2 t) , dt = raiz9 cdot 1 , dt = 3 , dt
Então, ds = 3 , dt .

Passo 4

Agora, substituímos a função f(x, y) = y pela expressão que encontramos na parametrização. Temos:
f(x(t), y(t)) = y(t) = 1 + 3 sin t
Então, a integral de linha fica:
integralC y , ds = integral0^2pi (1 + 3 sin t) cdot 3 , dt = 3 integral0^2pi (1 + 3 sin t) , dt

Passo 5

Vamos agora calcular a integral:
3 integral0^2pi (1 + 3 sin t) , dt = 3 [ integral0^2pi 1 , dt + integral0^2pi 3 sin t , dt ] = 3 [ t |0^2pi + 3 (-cos t) |0^2pi ]
Calculando cada parte:
t |0^2pi = 2pi - 0 = 2pi (-cos t) |0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0
Então, a integral fica:
3 [ 2pi + 3 cdot 0 ] = 3 cdot 2pi = 6pi

Resposta

A integral de linha da função f(x, y) = y ao longo da curva C é 6pi .

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