(1,5 pontos) Considere uma função que satisfaça as seguintes condições
i) o gráfico tem uma assíntota vertical em x=1 e uma assíntota horizontal em y=-2.
ii) x=2 é um zero da função, isto é, f(2)=0; a função tem valores positivos para 1<x<2 e valores negativos para x>2 ou x<1.
Faça um esboço do gráfico desta função e escreva uma fórmula para a função.

Passo 1

O enunciado pede uma função que tenha
  1. assíntota vertical em x=1 e assíntota horizontal em y=-2,
  2. zero em x=2,
  3. seja positiva para 1<x<2 e negativa para x>2 ou x<1.
    O conteúdo é de funções racionais do tipo “ grau 1 sobre grau 1 ”, cujas assíntotas são dadas pelas raízes do denominador (vertical) e pela razão dos coeficientes principais do numerador e do denominador (horizontal).

Passo 2

Para ter assíntota vertical em x=1 escolhemos uma função da forma
f(x)=ax+b,x-1,,,
pois o denominador x-1 anula em x=1.

Passo 3

A assíntota horizontal de uma função ax+bx-1 é y=a. Como queremos y=-2, impomos
a=-2 Longrightarrow f(x)=-2x+bx-1,

Passo 4

Para que x=2 seja zero de f basta f(2)=0, ou seja
-2cdot2 + b2-1=0 Longrightarrow -4+b=0 ;Longrightarrow; b=4
Logo
f(x)=4-2x,x-1,

Passo 5

Verificamos o sinal de f:
  • Para 1<x<2: x-1>0 e 4-2x>0, logo f(x)>0.
  • Para x>2: x-1>0 e 4-2x<0, logo f(x)<0.
  • Para x<1: x-1<0 e 4-2x>0, logo f(x)<0.
    Isso coincide com as condições do enunciado.

Passo 6

Esboço do gráfico de f(x)=tfrac4-2xx-1:
  • Assíntota vertical em x=1.
  • Assíntota horizontal em y=-2.
  • Intercepto em (2,0).
  • Ramo central para 1<x<2 acima do eixo x, indo de +infty em xto1^+ até zero em x=2.
  • Dois ramos laterais (um para x<1 e outro para x>2) sempre abaixo do eixo, cada um tendendo a y=-2 quando |x|toinfty e a pminfty quando xto1^mp.

Resposta

boxedf(x)=4-2xx-1
Esboço: duas curvas com vertical em x=1, horizontal em y=-2, zero em x=2; ramo entre 1 e 2 acima do eixo, ramos laterais abaixo.

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