(1,5 pontos) Considere uma função que satisfaça as seguintes condições
i) o gráfico tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
ii)
é um zero da função, isto é,
; a função tem valores positivos para
e valores negativos para
ou
.
Faça um esboço do gráfico desta função e escreva uma fórmula para a função.
i) o gráfico tem uma assíntota vertical em
ii)
Passo 1
O enunciado pede uma função que tenha
- assíntota vertical em
e assíntota horizontal em , - zero em
, - seja positiva para
e negativa para ou .
O conteúdo é de funções racionais do tipo “grau 1 sobre grau 1 ”, cujas assíntotas são dadas pelas raízes do denominador (vertical) e pela razão dos coeficientes principais do numerador e do denominador (horizontal).
Passo 2
Para ter assíntota vertical em
escolhemos uma função da forma
pois o denominador
anula em
.
Passo 3
A assíntota horizontal de uma função
é
. Como queremos
, impomos
Passo 4
Para que
seja zero de
basta
, ou seja
Logo
Passo 5
Verificamos o sinal de
:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Isso coincide com as condições do enunciado.
Passo 6
Esboço do gráfico de
:
- Assíntota vertical em
. - Assíntota horizontal em
. - Intercepto em
. - Ramo central para
acima do eixo , indo de em até zero em . - Dois ramos laterais (um para
e outro para ) sempre abaixo do eixo, cada um tendendo a quando e a quando .
Resposta
Esboço: duas curvas com vertical em
, horizontal em
, zero em
; ramo entre 1 e 2 acima do eixo, ramos laterais abaixo.