Seja a função f(x, y)= x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0 , & se (x, y)=(0,0)
a) Verifique se f é contínua em (0,0).
b) As derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) são contínuas em (0,0) ?
c) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede: (a) continuidade em (0,0), (b) se as derivadas parciais são contínuas em (0,0) e (c) se f é diferenciável lá.
Conteúdo: limites em várias variáveis (usar coordenadas polares), cálculo de derivadas parciais (definição e regra do quociente) e critério de diferenciabilidade via resto o(|(h,k)|).]

Passo 2

Para verificar continuidade em (0,0), avaliamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =limrto0r^4cos^4thetar^2 =limrto0r^2cos^4theta =0,
onde (x,y)=(rcostheta,rsintheta). Como f(0,0)=0, a função é contínua em (0,0).

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais.
– Em (0,0) usamos definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2h=0,
pois f(h,0)=h^4/h^2=h^2. Analogamente partial f/partial y(0,0)=0.
– Em (x,y)neq(0,0) aplicamos regra do quociente a x^4/(x^2+y^2). O resultado é
partial fpartial x(x,y) =2x^3(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =-2x^4y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Precisamos ver se partial f/partial x e partial f/partial y tendem a 0 quando (x,y)to(0,0).
Para partial f/partial x temos
l|2x^3(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2r| <= 6,|x|^3(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 =6|x|^3x^2+y^2 <=6rto0
Para partial f/partial y
l|2x^4y(x^2+y^2)^2r| <=2|x|^4|y|(x^2+y^2)^2 =2rcos^4theta,|sintheta|to0
Como ambos limitam a zero e valem zero em (0,0), são contínuos em (0,0).

Passo 5

Para diferenciabilidade em (0,0) podemos usar a definição direta: o candidato a diferencial é L(h,k)=0. Resta checar
f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =f(h,k)r =r^2cos^4thetar =rcos^4thetato0 (rto0)
Como o resto é o(r), f é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) f é contínua em (0,0).
b) As derivadas parciais existem e são contínuas em (0,0).
c) f é diferenciável em (0,0).

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