Seja a função
a) Verifique se f é contínua em
(0,0) .
b) As derivadas parciais
partial fpartial x(x, y) e
partial fpartial y(x, y) são contínuas em
(0,0) ?
c) A função f é diferenciável em
(0,0) ?
b) As derivadas parciais
c) A função f é diferenciável em
Passo 1
O enunciado define
e pede: (a) continuidade em
(0,0) , (b) se as derivadas parciais são contínuas em
(0,0) e (c) se
f é diferenciável lá.
Conteúdo: limites em várias variáveis (usar coordenadas polares), cálculo de derivadas parciais (definição e regra do quociente) e critério de diferenciabilidade via restoo(|(h,k)|) .]
Conteúdo: limites em várias variáveis (usar coordenadas polares), cálculo de derivadas parciais (definição e regra do quociente) e critério de diferenciabilidade via resto
Passo 2
Para verificar continuidade em
(0,0) , avaliamos
onde
(x,y)=(rcostheta,rsintheta) . Como
f(0,0)=0 , a função é contínua em
(0,0) .
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais.
– Em(0,0) usamos definição:
– Em
pois
f(h,0)=h^4/h^2=h^2 . Analogamente
partial f/partial y(0,0)=0 .
– Em(x,y)neq(0,0) aplicamos regra do quociente a
x^4/(x^2+y^2) . O resultado é
– Em
Passo 4
Precisamos ver se
partial f/partial x e
partial f/partial y tendem a
0 quando
(x,y)to(0,0) .
Parapartial f/partial x temos
Para
Para
partial f/partial y
Como ambos limitam a zero e valem zero em
(0,0) , são contínuos em
(0,0) .
Passo 5
Para diferenciabilidade em
(0,0) podemos usar a definição direta: o candidato a diferencial é
L(h,k)=0 . Resta checar
Como o resto é
o(r) ,
f é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
a)
f é contínua em
(0,0) .
b) As derivadas parciais existem e são contínuas em(0,0) .
c)f é diferenciável em
(0,0) .
b) As derivadas parciais existem e são contínuas em
c)