Calcule a integral de linha da função dada ao longo das curvas abaixo.
f(x, y)=x y em que C=(x, y) in R^2 ; x^24+y^2=1, x >= 0, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha escalar
integralC f(x,y),ds
com f(x,y)=xy ao longo da curva C que é o arco da elipse
x^24+y^2=1
no primeiro quadrante ( x>=0, y>=0). Para resolver precisamos:
– usar a definição
integralC f(x,y),ds = integrala^b fl(x(t),y(t)r),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt;
– escolher uma parametrização adequada para o quarto da elipse;
– calcular ds e montar a integral em termos de t;
– avaliar por substituição.

Passo 2

Escolhemos a parametrização
x(t)=2cos t, y(t)=sin t, 0<= t<= pi2,
pois x^24+!y^2=cos^2t+sin^2t=1. Calculamos as derivadas:
x'(t)=-2sin t, y'(t)=cos t,
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raiz(x')^2+(y')^2 =raiz4sin^2t+cos^2t =raiz1+3sin^2t

Passo 3

Substituindo na definição da integral de linha escalar temos
integralCxy,ds =integral0^pi2 l(2cos tcdotsin tr), raiz1+3sin^2t;dt =integral0^pi2 2sin tcos t;raiz1+3sin^2t;dt
Fazemos a substituição
u=1+3sin^2t Longrightarrow du=6sin tcos t;dt,
portanto sin tcos t,dt=tfracdu6. Quando t=0, u=1; quando t=tfracpi2, u=4.

Passo 4

A integral em u fica
integralu=1^4 2raizu;du6 =26integral1^4u^12,du =13cdot23l[u^32r]1^4 =29l(4^32-1r) =29(8-1) =149

Resposta

integralCxy,ds = 149

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