Seja a função f(x, y)=llly^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
a) Verifique se f é contínua em (0,0).
b) As derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) são contínuas em (0,0) ?
c) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracy^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede:
a) verificar se f é contínua em (0,0),
b) checar se as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0),
c) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Vamos usar limites em coordenadas polares, definição de derivada parcial e critério de diferenciabilidade via resto.]

Passo 2

Para a continuidade em (0,0) calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta tem-se
f(r,theta) =(rsintheta)^3r^2 =rsin^3theta,
e claramente limrto0rsin^3theta=0. Como f(0,0)=0, segue que f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente e obtemos
partial fpartial x(x,y) =-2x,y^3(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =3y^2(x^2+y^2)-2y^4(x^2+y^2)^2 =y^2(3x^2+y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Na origem usamos definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00h=0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto0h^3/h^2h =limhto0hh=1

Passo 5

Verificamos a continuidade das parciais em (0,0) via polares:
partial fpartial x(r,theta) =-2costhetasin^3theta, partial fpartial y(r,theta) =sin^2theta,(3cos^2theta+sin^2theta)
Ambos são independentes de r e variam com theta, logo
lim(x,y)to(0,0)partial fpartial x(x,y)
e
lim(x,y)to(0,0)partial fpartial y(x,y)
não coincidem com os valores em (0,0) (que são 0 e 1), de modo que as derivadas parciais não são contínuas em (0,0).

Passo 6

Para a diferenciabilidade em (0,0) consideramos a aproximação linear
ell(x,y)=0cdot x+1cdot y=y. O resto é
R(x,y)=f(x,y)-ell(x,y) =y^3x^2+y^2-y =-x^2yx^2+y^2
Calculamos
|R(x,y)|raizx^2+y^2 =|x|^2|y|(x^2+y^2)^3/2 stackrelr,theta= |cos^2thetasintheta|,
que não tende a zero quando (x,y)to(0,0). Logo o resto não é o(|(x,y)|) e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) f é contínua em (0,0).
b) As derivadas parciais existem mas não são contínuas em (0,0).
c) f não é diferenciável em (0,0).

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