Seja a função
a) Verifique se f é contínua em (0,0).
b) As derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) são contínuas em (0,0) ?
c) A função f é diferenciável em (0,0) ?
e pede:
a) verificar se f é contínua em (0,0),
b) checar se as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0),
c) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Vamos usar limites em coordenadas polares, definição de derivada parcial e critério de diferenciabilidade via resto.]
Passo 2
Para a continuidade em (0,0) calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta tem-se
f(r,theta) =(rsintheta)^3r^2 =rsin^3theta,
e claramente limrto0rsin^3theta=0. Como f(0,0)=0, segue que f é contínua em (0,0).
Passo 3
Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente e obtemos
Ambos são independentes de r e variam com theta, logo lim(x,y)to(0,0)partial fpartial x(x,y)
e lim(x,y)to(0,0)partial fpartial y(x,y)
não coincidem com os valores em (0,0) (que são 0 e 1), de modo que as derivadas parciais não são contínuas em (0,0).
Passo 6
Para a diferenciabilidade em (0,0) consideramos a aproximação linear ell(x,y)=0cdot x+1cdot y=y. O resto é