Calcule a integral de linha
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \bullet d \overrightarrow{\mathbf{r}}
, onde C é descrita pela função vetorial
\overrightarrow{\mathbf{r}}
.
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y)=x^{2} y^{3} \overrightarrow{\mathbf{i}}-y \sqrt{x} \overrightarrow{\mathbf{j}} onde \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=t^{2} \overrightarrow{\mathbf{i}}-t^{3} \overrightarrow{\mathbf{j}}, com 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCFcdot dr,
onde
F(x,y)=x^2y^3,i ;-;yraizx,j
e
r(t)=t^2,i;-;t^3,j
para 0<= t<=1.
Vamos usar parametrização de curvas, ou seja,
integralCFcdot dr =integral0^1Fl(r(t)r) cdot r'(t),dt

Passo 2

Calculamos r'(t) e avaliamos F em r(t).
r'(t) =2t,i-3t^2,j,
r(t)=(t^2,-t^3) Longrightarrow raizx=raizt^2=t(pois t>=0)
Substituindo em F:
Fl(r(t)r) =l((t^2)^2,(-t^3)^3,;-(-t^3),tr) =l(-t^13,,t^4r)

Passo 3

Formamos o produto escalar no integrando:
Fl(r(t)r) cdot r'(t) =(-t^13)(2t)+(t^4)(-3t^2) =-2t^14-3t^6

Passo 4

Integramos de 0 a 1:
integral0^1l(-2t^14-3t^6r),dt =-2integral0^1t^14,dt;-;3integral0^1t^6,dt =-2cdot115-3cdot17 =-215-37 =-59105

Resposta

-59105

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