Calcule a integral de linha da função ao longo da curva de e :
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha integralC dx + dy da função F = imath + jmath ao longo da curva y = x^3, indo de x=0 até x=1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Isso significa que vamos expressar as coordenadas [x) e em termos de um parâmetro, que nesse caso vamos chamar de . A dica já nos deu uma mãozinha:
Aqui, até .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t, ou seja, dx/dt e dy/dt. Isso é importante porque vamos substituir essas derivadas na integral.
dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt
dy = dydt dt = 3t^2 cdot dt = 3t^2 dt
Passo 4
Com dx e dy expressos em termos de dt, vamos substituir na integral original: