Calcule a integral de linha integralC d x+d y da função F=imath+jmath ao longo da curva y=x^3 de x=0 e x=1 :
Dica: lx=t y=t^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha integralC dx + dy da função F = imath + jmath ao longo da curva y = x^3, indo de x=0 até x=1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Isso significa que vamos expressar as coordenadas [x) e em termos de um parâmetro, que nesse caso vamos chamar de . A dica já nos deu uma mãozinha:
Aqui, até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t, ou seja, dx/dt e dy/dt. Isso é importante porque vamos substituir essas derivadas na integral.
dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt
dy = dydt dt = 3t^2 cdot dt = 3t^2 dt

Passo 4

Com dx e dy expressos em termos de dt, vamos substituir na integral original:
integralC dx + dy = integral0^1 (dx + dy) = integral0^1 (dt + 3t^2 dt) = integral0^1 (1 + 3t^2) dt
Aqui, ajustamos os limites de integração para t indo de 0 a 1, já que parametrizamos a curva nesse intervalo.

Passo 5

Agora, é só calcular essa integral simples:
integral0^1 (1 + 3t^2) dt = [ t + t^3 ]0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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