Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x, x=2, y=0; Em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x, x=2 e y=0 em torno do eixo y. O conteúdo utilizado será o método dos cascos cilíndricos para volumes de rotação.

Passo 2

Para usar cascos cilíndricos, tomamos um retângulo vertical em xin[0,2]. Ao girar esse retângulo em torno do eixo y:
– o raio do casco é x,
– a altura do casco é a distância vertical entre ytop=x e ybot=0, ou seja, x-0=x,
– a espessura é dx.

Passo 3

Pela fórmula do método dos cascos cilíndricos, o volume é
V = 2pi integral0^2 (raio)times(a<ura),dx = 2pi integral0^2 x cdot x,dx = 2pi integral0^2 x^2,dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^2 x^2,dx = x^33|0^2 = 83
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V = 2pi cdot 83 = 16pi3

Resposta

V = 16pi3

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