Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição s(t) e velocidade instantânea v(t)=s^prime(t). Seja a(t)=v^prime(t)=2 t-1 sua aceleração instantânea e v(0)=-6 m / s sua velocidade inicial.
Encontre v(t) e estude seu sinal para t >= 0.

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta. A posição dela no tempo é s(t) e a velocidade instantânea é v(t) = s'(t) . A aceleração instantânea dada é a(t) = 2t - 1 e a velocidade inicial, ou seja, quando t = 0 , é v(0) = -6 , m/s .
Vamos precisar:
  • Cálculo Diferencial, especialmente integração.
  • Entender que a aceleração é a derivada da velocidade e que a velocidade é a derivada da posição.
  • Saber como integrar funções para encontrar a velocidade a partir da aceleração.
  • Analisar o sinal da função velocidade para entender quando ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a aceleração a(t) é a derivada da velocidade v(t) :
a(t) = dv(t)dt = 2t - 1
Para encontrar v(t) , precisamos integrar a função aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a(t) para encontrar v(t) :
v(t) = integral a(t) , dt = integral (2t - 1) , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = integral 2t , dt - integral 1 , dt = t^2 - t + C
Onde C é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que v(0) = -6 , m/s . Vamos usar isso para achar C :
v(0) = (0)^2 - (0) + C = C = -6
Então, a função velocidade fica:
v(t) = t^2 - t - 6

Passo 5

Agora, vamos estudar o sinal de v(t) para t >= 0 . Queremos saber para quais valores de t , a velocidade é positiva ou negativa.
Primeiro, encontramos quando v(t) = 0 :
t^2 - t - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
t = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, as soluções são:
t = 62 = 3 e t = -42 = -2
Como estamos considerando t >= 0 , a única solução relevante é t = 3 .

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal de v(t) nos intervalos definidos por t = 3 :
  1. Para 0 <= t < 3 :
    Vamos escolher t = 1 :
v(1) = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 , m/s
Então, v(t) < 0 nesse intervalo.
  1. Para t > 3 :
    Vamos escolher t = 4 :
v(4) = 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 , m/s
Então, v(t) > 0 nesse intervalo.

Resposta

A função velocidade é v(t) = t^2 - t - 6 . Para t >= 0 :
  • v(t) é negativa quando 0 <= t < 3 .
  • v(t) é positiva quando t > 3 .

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