Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição
e velocidade instantânea
. Seja
sua aceleração instantânea e
sua velocidade inicial.
Encontre
e estude seu sinal para
.
Encontre
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta. A posição dela no tempo é
e a velocidade instantânea é
. A aceleração instantânea dada é
e a velocidade inicial, ou seja, quando
, é
.
Vamos precisar:
- Cálculo Diferencial, especialmente integração.
- Entender que a aceleração é a derivada da velocidade e que a velocidade é a derivada da posição.
- Saber como integrar funções para encontrar a velocidade a partir da aceleração.
- Analisar o sinal da função velocidade para entender quando ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que a aceleração
é a derivada da velocidade
:
Para encontrar
, precisamos integrar a função aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração que precisamos descobrir usando a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos usar isso para achar
:
Então, a função velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos estudar o sinal de
para
. Queremos saber para quais valores de
, a velocidade é positiva ou negativa.
Primeiro, encontramos quando
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Como estamos considerando
, a única solução relevante é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos definidos por
:
-
Para
: Vamos escolher:
Então,
nesse intervalo.
-
Para
: Vamos escolher:
Então,
nesse intervalo.
Resposta
A função velocidade é
. Para
:
-
é negativa quando . -
é positiva quando .