Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca
na movimentação de um objeto ao longo da curva C parametrizada por
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força
ao mover um objeto ao longo de uma curva
parametrizada por
para
. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha no campo vetorial, que é uma ferramenta da cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do campo de força ao longo dessa curva. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde:
-
é o trabalho realizado, -
é o campo de força, -
é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Como a curva
está parametrizada por
, podemos expressar o trabalho
em termos de uma integral definida em relação a
, variando de 0 a 1:
Aqui,
é a derivada da posição
em relação a
, ou seja, a velocidade vetorial ao longo da curva.
Passo 4
Vamos calcular
. A posição é dada por:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na força
:
Passo 6
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Perceba que os termos
e
se cancelam:
Passo 7
Finalmente, integramos
de
a
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.