Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F=x i+y j+z k na movimentação de um objeto ao longo da curva C parametrizada por r(t)=cos (pi t) i+t^2 j+sen(pi t) k ; 0 <= t <= 1:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força F = x,i + y,j + z,k ao mover um objeto ao longo de uma curva C parametrizada por r(t) = cos(pi t),i + t^2,j + sin(pi t),k para 0 <= t <= 1. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha no campo vetorial, que é uma ferramenta da cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do campo de força ao longo dessa curva. Matemáticamente, isso é representado por:
W = integralC F cdot dr
Onde:
  • W é o trabalho realizado,
  • F é o campo de força,
  • dr é o vetor deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Como a curva C está parametrizada por r(t), podemos expressar o trabalho W em termos de uma integral definida em relação a t, variando de 0 a 1:
W = integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t), dt
Aqui, r'(t) é a derivada da posição r(t) em relação a t, ou seja, a velocidade vetorial ao longo da curva.

Passo 4

Vamos calcular r'(t). A posição é dada por:
r(t) = cos(pi t),i + t^2,j + sin(pi t),k
Derivando cada componente em relação a t:
r'(t) = ddtcos(pi t),i + ddtt^2,j + ddtsin(pi t),k = -pi sin(pi t),i + 2t,j + pi cos(pi t),k

Passo 5

Agora, vamos substituir r(t) na força F:
F(r(t)) = x,i + y,j + z,k = cos(pi t),i + t^2,j + sin(pi t),k

Passo 6

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F cdot r'(t) = cos(pi t) cdot (-pi sin(pi t)) + t^2 cdot 2t + sin(pi t) cdot pi cos(pi t)
Simplificando:
F cdot r'(t) = -pi cos(pi t) sin(pi t) + 2t^3 + pi sin(pi t) cos(pi t)
Perceba que os termos -pi cos(pi t) sin(pi t) e +pi sin(pi t) cos(pi t) se cancelam:
F cdot r'(t) = 2t^3

Passo 7

Finalmente, integramos 2t^3 de t = 0 a t = 1:
W = integral0^1 2t^3 , dt = 2 [ t^44 ]0^1 = 2 ( 14 - 0 ) = 24 = 12

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é 12 unidades de trabalho.

Exercícios relacionados