Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas se pode calcular de maneira mais rápida: fx y ou fy x ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
f(x, y)=x sin y+e^y

Passo 1

O enunciado pede para decidir, antes de calcular, qual das derivadas mistas
fxy ou fyx se obtém mais rapidamente para
f(x,y) = xsin y + e^y
O conteúdo é o de derivadas parciais e derivadas mistas. Vamos usar a definição
fxy = partialpartial yl(fxr) e
fyx = partialpartial xl(fyr), além das regras básicas de diferenciação de seno e exponencial.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x:
fx(x,y) = partialpartial xl(xsin y + e^yr)
Como sin y e e^y são constantes em x, obtemos
fx(x,y) = sin y

Passo 3

Agora a derivada mista fxy é
fxy(x,y) = partialpartial yl(fx(x,y)r) = partialpartial yl(sin yr) = cos y

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y:
fy(x,y) = partialpartial yl(xsin y + e^yr) = xcos y + e^y

Passo 5

A derivada mista fyx é
fyx(x,y) = partialpartial xl(fy(x,y)r) = partialpartial xl(xcos y + e^yr) = cos y

Passo 6

Para obter fxy foi preciso diferenciar apenas sin y (uma única operação), enquanto para fyx tivemos de calcular fy com duas parcelas e então derivar em x. Logo, o caminho mais rápido é calcular primeiro fx e depois derivar em y.

Resposta

A derivada mista que se calcula de maneira mais rápida é fxy.

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