Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas abaixo: f(x, y)=x^{2} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0,0 \leq x \leq 1\right\} \cup \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,0 \leq y \leq 1\right\} . Passo 1O enunciado pede calcular a integral de linha da função f(x,y)=x^{2} ao longo da curva C que é a união de dois segmentos: C_1=\{(x,0)\mid 0\le x\le1\}, \quad C_2=\{(1,y)\mid 0\le y\le1\}. Para um campo escalar f e uma parametrização \mathbf r(t), usamos \int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt. Passo 2Parametrizamos o primeiro segmento C_1 por \mathbf r_1(t)=(t,0),\quad t\in[0,1]. Calculamos \mathbf r_1'(t)=(1,0),\quad \bigl\|\mathbf r_1'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_1(t)\bigr)=t^2. Logo \int_{C_1}f\,ds =\int_{0}^{1}t^2\cdot1\,dt =\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}. Passo 3Parametrizamos o segundo segmento C_2 por \mathbf r_2(t)=(1,t),\quad t\in[0,1]. Calculamos \mathbf r_2'(t)=(0,1),\quad \bigl\|\mathbf r_2'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_2(t)\bigr)=1^2=1. Logo \int_{C_2}f\,ds =\int_{0}^{1}1\cdot1\,dt =\left[t\right]_{0}^{1} =1. Passo 4Somando as contribuições de C_1 e C_2, obtemos \int_{C}f\,ds =\int_{C_1}f\,ds+\int_{C_2}f\,ds =\frac{1}{3}+1 =\frac{4}{3}. Resposta \displaystyle \frac{4}{3} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUma caixa d’água em formato de paralelepípedo retângulo, com 2 metros de comprimento, 1,5 metros de largura e 1 metro de altura, está preenchida com água em 70 \% de sua capacidade total. O volume de água que ainda falta para que a caixa fique totalmente cheia, em litros, é de: (A) 2.100 litros. (B) 900 litros. (C) 1.500 litros. (D) 1.200 litros. (E) 450 litros. Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas parametrizadas abaixo: f(x, y)=y^{2} e \mathbf{r}(t)=(t, \exp (t)), 0 \leq t \leq 1. Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas abaixo: f(x, y)=x^{2} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0,0 \leq x \leq 1\right\} \cup \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,0 \leq y \leq 1\right\} . Um cilindro reto está apoiado sobre sua base circular em um plano horizontal. Considerando as projeções ortogonais desse sólido nos três planos principais de projeção (plano frontal, plano horizontal e plano lateral), analise as afirmações: I - A projeção horizontal do cilindro é um círculo, correspondente à sua base. II - A projeção frontal do cilindro é um retângulo, cuja altura corresponde à do cilindro e a base corresponde ao diâmetro da circunferência. III - A projeção lateral do cilindro também é um retângulo, congruente ao da projeção frontal. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I está correta. b) Apenas II está correta. c) Apenas I e II estão corretas. d) I, II e III estão corretas. e) Todas estão erradas.