Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas abaixo:
f(x, y)=x^{2} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0,0 \leq x \leq 1\right\} \cup
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,0 \leq y \leq 1\right\} .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha da função
f(x,y)=x^{2}
ao longo da curva C que é a união de dois segmentos:
C_1=\{(x,0)\mid 0\le x\le1\}, \quad C_2=\{(1,y)\mid 0\le y\le1\}.
Para um campo escalar f e uma parametrização \mathbf r(t), usamos
\int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o primeiro segmento C_1 por
\mathbf r_1(t)=(t,0),\quad t\in[0,1].
Calculamos
\mathbf r_1'(t)=(1,0),\quad \bigl\|\mathbf r_1'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_1(t)\bigr)=t^2.
Logo
\int_{C_1}f\,ds =\int_{0}^{1}t^2\cdot1\,dt =\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Parametrizamos o segundo segmento C_2 por
\mathbf r_2(t)=(1,t),\quad t\in[0,1].
Calculamos
\mathbf r_2'(t)=(0,1),\quad \bigl\|\mathbf r_2'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_2(t)\bigr)=1^2=1.
Logo
\int_{C_2}f\,ds =\int_{0}^{1}1\cdot1\,dt =\left[t\right]_{0}^{1} =1.

Passo 4

Somando as contribuições de C_1 e C_2, obtemos
\int_{C}f\,ds =\int_{C_1}f\,ds+\int_{C_2}f\,ds =\frac{1}{3}+1 =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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