Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas parametrizadas abaixo:
f(x, y)=y^{2} e \mathbf{r}(t)=(t, \exp (t)), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de um campo escalar f(x,y)=y^2 ao longo da curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(t,e^t),\quad 0\le t\le1.
Nesse tipo de problema, usamos a fórmula
\int_C f(x,y)\,ds \;=\;\int_{0}^{1}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(1,\;e^t\bigr).
O módulo é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| = \sqrt{1^2 + (e^t)^2} = \sqrt{1 + e^{2t}}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos y(t)=e^t, logo
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(e^t\bigr)^2 = e^{2t}
e
\int_C y^2\,ds = \int_{0}^{1} e^{2t}\,\sqrt{1 + e^{2t}}\,dt.

Passo 4

Para resolver
\int_{0}^{1} e^{2t}\sqrt{1 + e^{2t}}\,dt,
fazemos a substituição
u = 1 + e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad du = 2e^{2t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}\,dt = \frac{du}{2}.
Quando t=0, u=1+e^0=2; quando t=1, u=1+e^2. A integral vira
\int_{u=2}^{\,1+e^2} \sqrt{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{2}^{\,1+e^2} u^{1/2}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,\bigl[u^{3/2}\bigr]_{2}^{\,1+e^2} =\frac{1}{3}\Bigl((1+e^2)^{3/2} - 2^{3/2}\Bigr).

Resposta

\int_C y^2\,ds = \frac{1}{3}\Bigl((1+e^2)^{3/2} - 2\sqrt{2}\Bigr).

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