Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas abaixo: f(x, y)=x^{2} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0,0 \leq x \leq 1\right\} \cup \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,0 \leq y \leq 1\right\} . Passo 1O enunciado pede calcular a integral de linha da função f(x,y)=x^{2} ao longo da curva C que é a união de dois segmentos: C_1=\{(x,0)\mid 0\le x\le1\}, \quad C_2=\{(1,y)\mid 0\le y\le1\}. Para um campo escalar f e uma parametrização \mathbf r(t), usamos \int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt. Passo 2Parametrizamos o primeiro segmento C_1 por \mathbf r_1(t)=(t,0),\quad t\in[0,1]. Calculamos \mathbf r_1'(t)=(1,0),\quad \bigl\|\mathbf r_1'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_1(t)\bigr)=t^2. Logo \int_{C_1}f\,ds =\int_{0}^{1}t^2\cdot1\,dt =\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}. Passo 3Parametrizamos o segundo segmento C_2 por \mathbf r_2(t)=(1,t),\quad t\in[0,1]. Calculamos \mathbf r_2'(t)=(0,1),\quad \bigl\|\mathbf r_2'(t)\bigr\|=1, \quad f\bigl(\mathbf r_2(t)\bigr)=1^2=1. Logo \int_{C_2}f\,ds =\int_{0}^{1}1\cdot1\,dt =\left[t\right]_{0}^{1} =1. Passo 4Somando as contribuições de C_1 e C_2, obtemos \int_{C}f\,ds =\int_{C_1}f\,ds+\int_{C_2}f\,ds =\frac{1}{3}+1 =\frac{4}{3}. Resposta \displaystyle \frac{4}{3} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral de linha da função ao longo das curvas abaixo: f(x, y)=x^{2} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0,0 \leq x \leq 1\right\} \cup \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,0 \leq y \leq 1\right\} . Uma caixa d’água em formato de paralelepípedo retângulo, com 2 metros de comprimento, 1,5 metros de largura e 1 metro de altura, está preenchida com água em 70 \% de sua capacidade total. O volume de água que ainda falta para que a caixa fique totalmente cheia, em litros, é de: (A) 2.100 litros. (B) 900 litros. (C) 1.500 litros. (D) 1.200 litros. (E) 450 litros. Um cilindro reto está apoiado sobre sua base circular em um plano horizontal. Considerando as projeções ortogonais desse sólido nos três planos principais de projeção (plano frontal, plano horizontal e plano lateral), analise as afirmações: I - A projeção horizontal do cilindro é um círculo, correspondente à sua base. II - A projeção frontal do cilindro é um retângulo, cuja altura corresponde à do cilindro e a base corresponde ao diâmetro da circunferência. III - A projeção lateral do cilindro também é um retângulo, congruente ao da projeção frontal. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I está correta. b) Apenas II está correta. c) Apenas I e II estão corretas. d) I, II e III estão corretas. e) Todas estão erradas. Use integrais de linha para calcular o comprimento da curva parametrizada por x(t)=\cos (\exp (t)), y(t)=\operatorname{sen}(\exp (t)), 0 \leq t \leq 1. Explique a sua resposta geometricamente.