1. Use integrais de linha para calcular o comprimento da curva parametrizada por x(t)=\cos (\exp (t)), y(t)=\operatorname{sen}(\exp (t)), 0 \leq t \leq 1. Explique a sua resposta geometricamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\gamma(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(\cos(\exp(t)),\,\sin(\exp(t))\bigr), \quad 0 \le t \le 1,
e pede o comprimento dessa curva. O conteúdo usado é o comprimento de curva parametrizada, dado por
L = \int_{0}^{1} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y:
x'(t) = -\sin\bigl(\exp(t)\bigr)\,\exp(t), \qquad y'(t) = \cos\bigl(\exp(t)\bigr)\,\exp(t).

Passo 3

Montamos a velocidade \|\gamma'(t)\|:
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{\bigl(-\sin(\exp(t))\,\exp(t)\bigr)^{2} +\bigl(\cos(\exp(t))\,\exp(t)\bigr)^{2}} = \sqrt{\exp(2t)\bigl(\sin^{2}+\cos^{2}\bigr)} = \exp(t).

Passo 4

Agora integramos para obter o comprimento:
L = \int_{0}^{1} \exp(t)\,dt = \bigl[\exp(t)\bigr]_{0}^{1} = e - 1.

Passo 5

Geometricamente, note que
\gamma(t) = \bigl(\cos\theta(t),\,\sin\theta(t)\bigr) \quad\text{com}\quad \theta(t)=\exp(t).
Isto é, é a circunferência de raio 1 percorrida do ângulo \theta(0)=1 até \theta(1)=e. O comprimento de um arco num círculo de raio 1 é simplesmente a variação de ângulo, isto é e-1.

Resposta

O comprimento da curva é e - 1.

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