Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas parametrizadas abaixo:
f(x, y)=x e \mathbf{r}(x)=(x, 0), 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x ao longo da curva parametrizada por
\mathbf{r}(t) = (t,0),\quad 0 \le t \le 1.
O conteúdo aqui é “integral de linha de função escalar”, cuja fórmula é
\int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s \;=\;\int_{a}^{b} f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Aplicamos a parametrização: para 0\le t\le1,
f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = f(t,0) = t,
e
\mathbf{r}'(t) = (1,0)\quad\Longrightarrow\quad \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert = 1.

Passo 3

Substituindo na fórmula da integral de linha, temos
\int_{C} f\,\mathrm{d}s = \int_{0}^{1} t \cdot 1 \,\mathrm{d}t = \int_{0}^{1} t\,\mathrm{d}t = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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