Calcule a integral de linha da função ao longo das curvas parametrizadas abaixo:
f(x, y)=x^{2}+y^{2} e \mathbf{r}(\theta)=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x^{2}+y^{2} ao longo da curva parametrizada por
\mathbf{r}(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta), \quad 0\le\theta\le2\pi.
O conteúdo é integral de linha de função escalar, cuja definição é
\int_{C}f(x,y)\,ds =\int_{\alpha}^{\beta}f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Vamos avaliar f na parametrização:
f\bigl(\mathbf{r}(\theta)\bigr) =f\bigl(\cos\theta,\sin\theta\bigr) =(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2} =1.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\mathbf{r}'(\theta) =\bigl(-\sin\theta,\cos\theta\bigr), \qquad \bigl\|\mathbf{r}'(\theta)\bigr\| =\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta} =1.

Passo 4

Substituindo na definição da integral de linha:
\int_{C}f\,ds =\int_{0}^{2\pi}1\cdot1\;d\theta =\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.

Resposta

2\pi

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