Por que o divergente de um rotacional é sempre zero? Explique de forma qualitativa e usando argumentos matmeáticos.
Passo 1
Beleza, então a pergunta aqui é: por que o divergente de um rotacional (ou rotacional de um campo vetorial) sempre dá zero? Vamos entrar na matéria de cálculo vetorial, especificamente nas operações de divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Ele mede a “taxa de expansão” ou “fluxo de saída” do campo em um ponto.
Passo 3
Agora, o rotacional (ou rotacional de um campo vetorial) é dado por:
O rotacional mede a “circulação” ou a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Passo 4
Para encontrar o divergente do rotacional, vamos aplicar a operação de divergente na expressão do rotacional:
Vamos expandir cada termo.
Passo 5
Expandindo:
Observa que os termos se cancelam mutuamente devido à comutatividade das derivadas parciais (ou seja,
, etc.).
Passo 6
Como todos os termos se cancelam, resta:
Isso mostra matematicamente que o divergente de um rotacional sempre é zero.
Resposta
Portanto, o divergente de um rotacional sempre resulta em zero porque, ao aplicar as operações de divergente e rotacional, todos os termos se cancelam devido à comutatividade das derivadas parciais.