Por que o divergente de um rotacional é sempre zero? Explique de forma qualitativa e usando argumentos matmeáticos.

Passo 1

Beleza, então a pergunta aqui é: por que o divergente de um rotacional (ou rotacional de um campo vetorial) sempre dá zero? Vamos entrar na matéria de cálculo vetorial, especificamente nas operações de divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Ele mede a “taxa de expansão” ou “fluxo de saída” do campo em um ponto.

Passo 3

Agora, o rotacional (ou rotacional de um campo vetorial) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
O rotacional mede a “circulação” ou a tendência do campo de girar em torno de um ponto.

Passo 4

Para encontrar o divergente do rotacional, vamos aplicar a operação de divergente na expressão do rotacional:
nabla cdot (nabla times F) = partialpartial x ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) + partialpartial y ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) + partialpartial z ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos expandir cada termo.

Passo 5

Expandindo:
partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fypartial x partial z + partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fzpartial y partial x + partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fxpartial z partial y
Observa que os termos se cancelam mutuamente devido à comutatividade das derivadas parciais (ou seja, partial^2 Fzpartial x partial y = partial^2 Fzpartial y partial x , etc.).

Passo 6

Como todos os termos se cancelam, resta:
nabla cdot (nabla times F) = 0
Isso mostra matematicamente que o divergente de um rotacional sempre é zero.

Resposta

Portanto, o divergente de um rotacional sempre resulta em zero porque, ao aplicar as operações de divergente e rotacional, todos os termos se cancelam devido à comutatividade das derivadas parciais.

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